• Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Geometria analitica nello spazio

Alcune superfici notevoli

In questa lezione ci occuperemo delle equazioni delle diverse superfici notevoli

Lezione

Alcune superfici notevoli

Una superficie è un luogo geometrico definito da un'equazione nelle variabili x,y,z, ossia una relazione del tipo F(x;y;z)=0, che deve essere soddisfatta dalle coordinate dei suoi punti. Se F(x;y;z) è un polinomio, la superficie si dice algebrica di ordine n, dove n è il grado del polinomio. I piani sono superfici algebriche del primo ordine. Dopo i piani le più semplici superfici che possiamo studiare nello spazio sono le quadriche. Le quadriche sono superfici algebriche del secondo ordine, perchè si possono rappresentare con un'equazione di secondo grado del tipo: \( ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+l=0\).

Date due superfici di equazioni F(x;y;z)=0 e G(x;y;z)=0; il luogo dei punti dello spazio le cui coordinate risolvono il sistema:

\( \begin{cases} F(x;y;z)=0 \\[2ex] G(x;y;z)=0 \end{cases}\)

Questo sistema è una curva. Una curva può esser vista come l'intersezione di due superfici.

Superficie sferica

La superficie sferica di centro C e raggio r è il luogo geometrico dei punti dello spazio aventi distanza r da C. L'equazione di tale superficie è data dall'equazione:

\( x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0\)

con \( a=-2x_0, b=-2y_0, c=-2z_0, d=x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2\).

Il valore raggio è \( r^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d\).

Affinchè l'equazione rappresenti una superficie sferica solo se i coefficienti soddisfano la condizione: \( \dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d\geq 0\)

In questo caso le coordinate del centro e il raggio sono: \(C\biggl(-\dfrac{a}{2};-\dfrac{b}{2};-\dfrac{c}{2}\biggr)\), \( r=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d}\)

Dati una sfera di centro C e raggio r e un piano \( \alpha\), la posizione reciproca tra sfera e piano dipende dalla distanza del piano dal centro C:

  • se \(d(C,\alpha)
  • se \(d(C,\alpha)=r\), il piano è tangente alla sfera e la loro intersezione è un punto P tale che la retta PC è perpendicolare ad \(\alpha\)
  • se \(d(C,\alpha)>r\), il piano è esterno alla sfera

Superficie cilindrica

Una superficie la cui equazione sia di secondo grado e contenente solo due variabili(esempio: \( x^2+y-2=0\) rappresenta un cilindro.

Dunque la superficie \(\sigma\) individuata da un'equazione simile a quella esposta sopra e da infinite rette parallele all'asse z costituisce una superficie cilindrica e le rette parallele all'asse z che la formano sono le generatrici.

Se intersechiamo tale superficie con il piano Oxy, otteniamo la curva di equazioni:

\( \begin{cases} y=x^2-1 \\[2ex] z=0 \end{cases}\)

Essa giace nel piano Oxy e si chiama direttrice. Poichè le generatrici sono perpendicolari al piano contenente la direttrice, si dice che la superficie è cilindrica retta. Distinguiamo i seguenti casi:

  • F(x;y)=0 corrisponde un cilindro indefinito retto con le generatrici parallele all'asse z
  • F(x;z)=0 corrisponde un cilindro indefinito retto con le generatrici parallele all'asse y
  • F(y;z)=0 corrisponde un cilindro indefinito retto con le generatrici parallele all'asse x
Se la direttrice è una parabola, un'ellisse, una circonferenza o un'iperbole, il cilindro indefinito si dice rispettivamente parabolico, ellittico, circolare, iperbolico.

Superficie conica

Una superficie conica circolare retta ha asse coincidente con asse y e generatrici passanti per l'origine. Si definisce semiapertura \( \delta\) l'angolo formato dalla generatrice a dall'asse y. L'equazione di una superficie conica circolare retta con semiapertura \( \delta\) è:

  • \( x^2+y^2-k^2z^2=0\) e \( tan^2(\delta)=k^2\), se l'asse coincide con l'asse z
  • \( x^2+z^2-k^2y^2=0\) e \( tan^2(\delta)=k^2\), se l'asse coincide con l'asse y
  • \( y^2+z^2-k^2x^2=0\) e \( tan^2(\delta)=k^2\), se l'asse coincide con l'asse x

Altre superfici quadratiche notevoli

I)Un ellissoide ha equazione: \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\)

II)Un iperboloide a una falda ha equazione: \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1\). Le sezioni sono iperboli. Analogo discorso vale anche per le equazioni: \( -\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\) e \( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\)

III)Un iperboloide a due falde ha equazione: \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1\). Sono iperboloidi a due falde anche le figure rappresentate dalle equazioni: \( -\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=-1\) e \( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=-1\)

IV)Un paraboloide ellittico ha equazione: \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=2z\). Sono paraboloidi ellettici anche le figure ottenute scambiando due variabili nell'equazione data.

V)Un paraboloide iperbolico ha equazione: \( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-2z\). Sono paraboloidi iperbolici anche le figure ottenute scambiando due variabili nell'equazione data.

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