• Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Equazioni e disequazioni goniometriche

Disequazioni goniometriche

In questa lezione vedremo come risolvere le disequazioni goniometriche e i sistemi di disequazioni goniometriche.

Lezione

Disequazioni goniometriche

Una disequazione goniometrica contiene almeno una funzione goniometrica dell'incognita

Le disequazioni goniometriche elementari sono del tipo: \( sen(x)>a, cos(x)>b, tan(x)>c\). E' possibile risolverle con due metodi differenti.

Primo metodo

Data una disequazione del tipo \( sen(x) < a \) con \( -1\leq a\leq 1\). Per trovare le soluzioni disegniamo il grafico della sinusoide di periodo \( 2\pi\) e tracciamo la retta di equazione \( y=a\). Le soluzioni saranno tutti i punti in cui la funzione seno si trova al di sotto della retta considerata.

Secondo metodo

Il secondo metodo utilizza la circonferenza goniometrica. Si traccia una retta di equazione \( y=a\) che interseca la circonferenza goniometrica in due punti. Tutti i punti della circonferenza che si trovano al di sotto di questa retta saranno soluzione della nostra disequazione.

Disequazioni goniometriche non elementari

Per risolvere una disequazione goniometrica non elementare dobbiamo ricondurci ad un prodotto di disequazioni elementari, utilizzando le diverse forme di raccoglimento.

Disequazioni fratte o sotto forma di prodotto

Se ci troviamo di fronte ad una disequazione fratta o ad un prodotto occorre utilizzare le regole del prodotto dei segni. Una volta individuate le soluzioni di numeratore e denominatore occorre applicare tali regole e determinare le soluzioni. Diversi esempi sono disponibili nella videolezione o nell'area esercizi.

Sistemi di disequazioni goniometriche

Un sistema di disequazioni goniometriche è l'insieme di due o più disequazioni goniometriche nella stessa incognita. Per determinare le soluzioni del sistema occorre individuare quei valori che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
1867 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( cos{x}>\dfrac{1}{2}\) 4 Vai
1868 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( cos{x}\geq -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 4 Vai
1869 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( sin{x}+1<0\) Impossibile 4 Vai
1870 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( tan{\dfrac{x}{2}}+1>0\) 6 Vai
1871 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 2sin{2x}-\sqrt{3}<0\) 6 Vai
1872 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 2cos{x} < cos{x}\) 4 Vai
1873 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( cot{x}<\sqrt{3}\) 4 Vai
1874 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( sin{x}+3\geq 2(sin{x}+2)\) 4 Vai
1875 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 2cos^2{x}-1\leq 2(1-sin{x})(1+sin{x})+cos{x}\) 4 Vai
1876 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( sin\biggl(\dfrac{\pi}{4}+x\biggr)-cos\biggl(x-\dfrac{\pi}{4}\biggr)>-1\) 4 Vai
1877 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( tan^2{x}-1\geq 0\) 4 Vai
1878 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( sin^2{x}+sin{x}<0\) 4 Vai
1879 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 4sin{x}cos{x}+1\leq 0\) 5 Vai
1880 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 3tan^2{x}-(\sqrt{3}-3)tan{x}-\sqrt{3}\geq 0\) 6 Vai
1881 Risoluzione di disequazioni goniometriche con metodo grafico \( sin{x}+cos{x}\leq 0\) 4 Vai
1882 Risoluzione di disequazioni goniometriche con metodo grafico \( sin{x}+cos{x}+1\leq 0\) 6 Vai
1883 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( \dfrac{2sin{x}+1}{cot{x}-1}>0 5 Vai
1884 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( sin{x}\cdot (2cos{x}+1)(tan{x}-1)\geq 0\) 7 Vai
1885 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( \dfrac{2sin{x}cos{x}}{sin{x}-cos{x}}\geq 0\) 7 Vai
1886 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( (1-2sin{x})(2cos{x}+\sqrt{3})\leq 0\) 5 Vai
1887 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( (3tan^2{x}-1)(sin{x}+1)\geq 0\) 7 Vai
1888 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( \dfrac{2sin{x}-\sqrt{3}}{tan{x}-\sqrt{3}}\leq 0\) 5 Vai
1889 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 2cos{x}-sin{2x}\leq 0\) 5 Vai
1890 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( (tan{x}+\sqrt{3})(2cos^2{x}-1)\leq 0\) 8 Vai
1891 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( \dfrac{cos^2{x}-sin^2{x}}{\sqrt{3}tan{x}+1}\leq 0\) 7 Vai
1892 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( \dfrac{1-tan{x}}{2cos{x}+1}\geq 0\) 5 Vai
1893 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 4cos^2{\dfrac{x}{2}}-2-cos{x}-2sin^2{\dfrac{x}{2}}\geq 0\) 4 Vai
1894 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( \dfrac{sin{2x}(4cos^2{x}-1)}{sin{x}}\geq 0\) 9 Vai
1895 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 2sin^2{x}-(2+\sqrt{3})sin{x}+\sqrt{3}>0\) 4 Vai
1896 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( |cos{x}-2|<1\) 4 Vai
1897 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( \sqrt{sin{x}}<\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 4 Vai
1898 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 3sin^2{x}+2\sqrt{3}sin{x}cos{x}+2cos^2{x}\geq 1\) 5 Vai
1899 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 2sin^2{x}-2sin{x}cos{x}+2cos^2{x}\geq 1\) 4 Vai
1900 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( 2tan{x}+\sqrt{tan^2{x}-1}\leq 1+tan{x}\) 6 Vai
1901 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( \dfrac{1-2cos^2{x}}{|cos{x}|}>tan{x}\) 9 Vai
1902 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( \dfrac{\sqrt{3}sin{x}+cos{x}-\sqrt{3}}{cos^2{x}}>0\) 7 Vai
1903 Risoluzione di disequazioni goniometriche \( \dfrac{\sqrt{4cos^2{\dfrac{x}{2}}+8cos{x}-7}}{|2sin^2{x}-1|}\geq 0\) 8 Vai
1904 Risoluzione di disequazioni goniometriche con funzioni inverse \( 4arcsin{x}<\pi>0\) \( -2\leq x\leq -1\) 4 Vai
1905 Risoluzione di disequazioni goniometriche con funzioni inverse \( arctan{x}arcsin{\dfrac{x-1}{x}}>0\) x>1 6 Vai
1906 Determina il dominio delle funzioni \( f(x)=\sqrt{2cos{x}(cos{x}-1)}\) 4 Vai
1907 Determina il dominio delle funzioni \( f(x)=\sqrt{cos{x}+sin{x}-1}\) 7 Vai
1908 Determina il dominio delle funzioni \( f(x)=\sqrt{cos{x}+sin{\dfrac{x}{2}}}\) 7 Vai
1909 Studia il segno della funzione \( f(x)=\dfrac{sin{x}+1}{2cos{x}-1}\) 5 Vai
1910 Risoluzione sistemi di disequazioni goniometriche \(\begin{cases} 2sin{x}\leq 1 \\ 2cos{x}<\sqrt{3} \end{cases}\) 5 Vai
1911 Risoluzione sistemi di disequazioni goniometriche \(\begin{cases} 1-2sin{x}\geq 0 \\ 2cos{x}-\sqrt{2}\leq 0 \end{cases}\) 5 Vai
1912 Risoluzione sistemi di disequazioni goniometriche \(\begin{cases} 1-2cos^2{x}\geq 0 \\ sin^2{x}+sin{x}\geq 0 \\ 4sin^2{x}-3\geq 0 \end{cases}\) 8 Vai
1913 Risoluzione sistemi di disequazioni goniometriche \(\begin{cases} \sqrt{3}sin{x}+cos{x}\geq 0 \\ 4sin^2{x}-3\leq 0 \\ 2cos{x}+1\geq 0 \end{cases}\) 8 Vai
1914 Risoluzione sistemi di disequazioni goniometriche \(\begin{cases} cot{x}-\sqrt{3}\leq 0 \\ 2cos^2{x}-1\leq 0 \\ sin^2{x}+2sin{x}+1\leq 0 \end{cases}\) 8 Vai
1915 Risoluzione sistemi di disequazioni goniometriche \(\begin{cases} \dfrac{1-sin{x}}{cos{x}}>\sqrt{3} \\ sin{2x}+sin{x}\geq 0 \end{cases}\) Impossibile 9 Vai
1916 Risoluzione sistemi di disequazioni goniometriche \(\begin{cases} cot{\dfrac{x}{2}}(1+cos{x}) 8 Vai
1917 Determina il dominio delle funzioni \( f(x)=\sqrt{\sqrt{2}-2sin{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{-cos{x}}}\) 4 Vai
1918 Determina il dominio delle funzioni \( f(x)=\sqrt{tan{x}}+\sqrt{\dfrac{sin{x}+1}{2cos{x}-1}}\) 7 Vai
1919 Risoluzione equazioni parametriche con metodo grafico \(\begin{cases} sin{x}=2k-1 \\ 0\leq x\leq \dfrac{\pi}{3} \end{cases}\) 6 Vai
1920 Risoluzione equazioni parametriche con metodo grafico \(\begin{cases} (2k+3)cos{x}=k-1 \\ 0\leq x\leq \dfrac{5}{6}\pi \end{cases}\) 8 Vai
1921 Risoluzione equazioni parametriche con metodo grafico \(\begin{cases} ktan^2{x}+tan{x}+1-2k=0 \\ 0\leq x < \dfrac{\pi}{2} \end{cases}\) 7 Vai

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