La divisione tra polinomi
Nell’insieme dei numeri naturali la divisione è possibile se il dividendo è un multiplo del divisore; si dice allora che il dividendo è divisibile per il divisore. Per esempio, 6 è divisibile per 3 perché 3 $ 2 dà come prodotto 6. Stesso discorso vale per i polinomi.
Divisione di un polinomio per un monomio
Un polinomio è divisibile per un monomio (non nullo) se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio divisore, dà il polinomio iniziale.
Un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se ogni suo termine è divisibile per tale monomio.
Esempio: Proviamo a dividere il polinomio \( 3ab^2 - 9a^2b\) per il monomio ab. Otteniamo: \( (3ab^2:ab) - (9a^2b:ab)=3b - 9a\)
La divisione esatta tra due polinomi
Un polinomio A è divisibile per un polinomio B, non nullo, se esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B, dà A. \( A:B = Q\) se e solo se \( B\cdot Q = A\).
A è il dividendo, B il divisore, Q il quoziente.
Il grado del polinomio quoziente
Sappiamo che il grado del polinomio prodotto è la somma dei gradi dei polinomi fattori: dunque, poiché \(B \cdot Q = A\), se A è di grado n e B è di grado p, il grado di Q deve essere n - p, con \( n \geq p\).
La divisione con resto tra due polinomi
Dati i polinomi A e B nella variabile x, con B non nullo e con il grado di B minore o uguale al grado di A, esistono sempre i polinomi Q e R tali che: \( A = B \cdot Q + R\). Q è il polinomio quoziente e R il polinomio resto.
Per un esempio pratico vi rimandiamo alla video lezione e agli esercizi presenti all'interno di questo corso.