Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    I polinomi

Divisione tra polinomi

In questa lezione ci occuperemo della divisione tra polinomi, cominciando dal concetto di divisibilità per poi studiare la divisione con resto tra due polinomi.

Lezione

La divisione tra polinomi

Nell’insieme dei numeri naturali la divisione è possibile se il dividendo è un multiplo del divisore; si dice allora che il dividendo è divisibile per il divisore. Per esempio, 6 è divisibile per 3 perché 3 $ 2 dà come prodotto 6. Stesso discorso vale per i polinomi.

Divisione di un polinomio per un monomio

Un polinomio è divisibile per un monomio (non nullo) se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio divisore, dà il polinomio iniziale.

Un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se ogni suo termine è divisibile per tale monomio.

Esempio: Proviamo a dividere il polinomio \( 3ab^2 - 9a^2b\) per il monomio ab. Otteniamo: \( (3ab^2:ab) - (9a^2b:ab)=3b - 9a\)

La divisione esatta tra due polinomi

Un polinomio A è divisibile per un polinomio B, non nullo, se esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B, dà A. \( A:B = Q\) se e solo se \( B\cdot Q = A\).

A è il dividendo, B il divisore, Q il quoziente.

Il grado del polinomio quoziente

Sappiamo che il grado del polinomio prodotto è la somma dei gradi dei polinomi fattori: dunque, poiché \(B \cdot Q = A\), se A è di grado n e B è di grado p, il grado di Q deve essere n - p, con \( n \geq p\).

La divisione con resto tra due polinomi

Dati i polinomi A e B nella variabile x, con B non nullo e con il grado di B minore o uguale al grado di A, esistono sempre i polinomi Q e R tali che: \( A = B \cdot Q + R\). Q è il polinomio quoziente e R il polinomio resto.

Per un esempio pratico vi rimandiamo alla video lezione e agli esercizi presenti all'interno di questo corso.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
92 Divisione di un polinomio per un monomio \( (20a^4-12a^3+6a^2):(2a^2)\) \( 10a^2-6a+3\) 3 Vai
93 Divisione di un polinomio per un monomio \( \biggl(a^4+a^3b-\dfrac{1}{5}ab^3+a^2b^2\biggr):\biggl(-\dfrac{1}{5}a\biggr)\) \( -5a^3-5a^2b+b^3-5ab^2\) 4 Vai
94 Divisione di un polinomio per un monomio \( (7x^4-3x^2y^3+5x^3y^2):(-3x^2)\) \( -\dfrac{7}{3}x^2+y^3-\dfrac{5}{3}xy^2\) 4 Vai
95 Espressioni con i polinomi \( [(3x^3+6x^2):2x-x]:x\) \( \dfrac{3}{2}x+2\) 3 Vai
96 Espressioni con i polinomi \( [(3x-y)^3+y^3]:(3x)-(3x-y)^2\) \( 2y^2-3xy\) 4 Vai
97 Espressioni con i polinomi \( [(2x^2y-4xy^2)^3-8y^3(-2xy)^3]:(-2x^2y)^2\) \( 2x^2y-12xy^2+24y^3\) 4 Vai
98 Divisione tra polinomi \( (x^3-8):(x-2)\) \( x^2+2x+4\) 3 Vai
99 Divisione tra polinomi \( (3y^4+3y^3-2y+1):(y+5)\) \( Q=x^2+7; R=24\) 3 Vai
100 Divisione tra polinomi \( (15a^3-8a^2-9a+2):(3a+2)\) \( Q=5a^2-6a+1; R=0\) 4 Vai
101 Divisione tra polinomi letterali \( (a^2-3b^2-2ab):(b+a)\) variabile: a \( Q=a-3b\) 3 Vai
102 Divisione tra polinomi letterali \( 4b^3-20ab^2-9a^2b+45a^3):(b-5a)\) Variabile: b \( Q=4b^2-9a^2\) 4 Vai
103 Divisione tra polinomi letterali \( (2x^3y-9x^2y+8y+2xy):(xy-4y)\) Variabile: x \( Q=2x^2-x-2\) 4 Vai

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