Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    La circonferenza

Equazione della circonferenza

In questa lezione vedremo come è possibile determinare l'equazione della circonferenza, le coordinate del centro e la misura del raggio.

Lezione

Equazione della circonferenza

Assegnato un punto C, denominato centro, si definisce circonferenza la curva piana composta luogo geometrico dei punti equidistanti da C tale che valga la seguente espressione PC=costante. La distanza tra ognuno dei punti e il centro si definisce raggio della circonferenza.

Dato il centro della circonferenza di centro \( C(\alpha ,\beta)\) e raggio r, e un punto P(x;y), calcoliamo la distanza del centro da questo punto P che sarà: \( (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2\). Questa somma dei quadrati è pari al quadrato dell'ipotenusa, nel nostro caso del raggio.

Dunque, l'equazione della circonferenza può essere scritta in questo modo:\( (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2\). Ponendo: \( a=-2\alpha, b=-2\beta, c=\alpha^2+\beta^2-r^2=0\), otteniamo: \( x^2+y^2+ax+by+c=0\)

Coordinate del centro e misura del raggio

Calcoliamo ora le coordinate del centro partendo dall'ultima equazione trovata. Otteniamo che: \( \alpha=-\dfrac{a}{2}\), e \( \beta=-\dfrac{b}{2}\). Il raggio sarà:\( r=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}-c}\). Le condizioni di esistenza di una circonferenza prevedono che il raggio sia maggiore o uguale a 0. Pertanto: \( \dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}-c\geq 0\). Se r fosse uguale a 0 avremmo una circonferenza degenere.

Casi particolari

Caso 1: a=0, il centro appartiene all'asse y

Caso 2: b=0, il centro appartiene all'asse x

Caso 3: c=0, la circonferenza passa per l'origine

Caso 4: a=b=0 la circonferenza ha centro nell'origine

Caso 5: a=c=0 la circonferenza ha centro sull'asse y e passa per l'origine

Caso 6: b=c=0 la circonferenza ha centro sull'asse x e passa per l'origine

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
881 Luogo geometrico circonferenza Scrivi il luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza \( \sqrt{5}\) dal punto (-3;1) \( x^2+y^2+6x-2y+5=0\) 2 Vai
882 Luogo geometrico circonferenza Individua l'equazione della circonferenza con centro l'origine e raggio 3 \( x^2+y^2=9\) 3 Vai
883 Determina raggio ed equazione della circonferenza dato centro e un punto Determina il raggio e scrivi l'equazione della circonferenza di centro C(0;3) e passante per P(2;-1) 3 Vai
884 Determina equazione della circonferenza dato centro e raggio Scrivi l'equazione della circonferenza di raggio 5 il cui centro è il punto P che si trova sull'asse x di ascissa -4 3 Vai
885 Verifica equazioni circonferenza \( a. x^2+y^2+1=0;\)
\( b.x^2+y^2-1=0;\)
\( c. 6x^2+6y^2-24=0;\)
3 Vai
886 Equazione circonferenza e parametro \( x^2+y^2-2kx+2y-4=0\) \( \forall k\in R\) 3 Vai
887 Equazione circonferenza e parametro \( x^2+y^2+(k-2)x+ky-2=0\) \( \forall k\in R\) 5 Vai
888 Determina equazione circonferenza dato raggio e centro Determina l'equazione della circonferenza di raggio 3 che ha lo stesso centro della circonferenza di equazione \( x^2+y^2-4x+6y+7=0\) \( x^2+y^2-4x+6y+4=0\) 3 Vai
890 Equazione circonferenza passante per un punto e parametro Determina il valore da attribuire al parametro c affinché la circonferenza di equazione \( x^2+y^2+4cx-y+c-1=0\) passi per il punto P(-1;2) \( \dfrac{2}{3}\) 3 Vai
891 Appartenenza punto a circonferenza e parametro Stabilisci per quali valori del parametro k il punto P(k-1;2k-1) appartiene alla circonferenza con centro nell'origine e raggio \( \sqrt{10}\) \( -\dfrac{4}{5};2\) 5 Vai
892 Equazione circonferenza e parametro Calcola per quali valori di k l'equazione \( x^2+y^2+4x-2y-k+3=0\) rappresenta una circonferenza e determina per quale valore di k si ha una circonferenza:
a. con raggio 1;
b. passante per l'origine;
c. passante per il punto P(1;2);
\( k\geq -2; a)k=-1; b)k=3; c)k=8\) 5 Vai
893 Equazione circonferenza e parametro Dopo aver determinato per quali valori di k l'equazione \( x^2+y^2-6x-4y+k+1=0\) rappresenta una circonferenza, stabilisci per quale valore di k la circonferenza:
a. ha raggio 3;
b. passa per il punto \( A\biggl(-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\biggr)\);
c. si trova nel primo quadrante
5 Vai
894 Rappresenta graficamente le funzioni \( y=\sqrt{1-x^2}\) 4 Vai
895 Rappresenta graficamente le funzioni \( y = \begin{cases}-\sqrt{1-x^2} & -1 \leq x \leq 1\\ 2x-2 & x >1 \end{cases}\) 4 Vai
896 Rappresenta graficamente le funzioni \( x^2+y^2-2|x|-4=0\) 5 Vai
897 Rappresenta le soluzioni delle disequazioni \( x^2+y^2>1\) 4 Vai
898 Rappresenta le soluzioni dei sistemi di disequazioni \(\begin{cases}x^2+y^2\leq 9 \\ x^2+y^2\geq 1\end{cases}\) \( 8\pi\) 4 Vai
899 Individua equazione circonferenza ottenuta con isometria indicata \( x^2+y^2+2x+4y-8=0\), simmetria rispetto alla retta di equazione y=2 4 Vai
900 Individua equazione circonferenza ottenuta con isometria indicata \( x^2+y^2+4x+4y=0\), traslazione di vettore v(-2;-1) 4 Vai
917 Determina equazione della circonferenza noto il centro e un punto C(3;-2), P(4;0) \( x^2+y^2-6x+4y+8=0\) 4 Vai
918 Determina equazione della circonferenza noto il centro e un punto Scrivi l'equazione della circonferenza passante per l'origine e avente il centro nel punto di ordinata 2 della retta di equazione y=3x-4 \( x^2+y^2-4x-4y=0\) 4 Vai
919 Determina equazione della circonferenza noto il diametro A(-3;1), B(2;5) 3 Vai
920 Determina equazione circonferenza dato diametro Scrivi l'equazione della circonferenza avente per diametro il segmento AO, dove A è il punto di intersezione delle rette di equazioni y=x+2 e y=3x-2 \( x^2+y^2-2x-4y=0\) 5 Vai
921 Determina equazione circonferenza dato tre punti D(-4;0), E(-2;-1), F(2;-3) Non esiste 4 Vai
922 Determina equazione circonferenza dato tre punti A(1;-1), B(1;3), C(-2;0) \( x^2+y^2-2y-4=0\) 4 Vai
923 Determina equazione circonferenza circoscritta dati vertici triangolo rettangolo Trova l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo rettangolo di vertici (0;0), \( (3;\sqrt{3})\), (4;0) \( x^2+y^2-4x=0\) 4 Vai
924 Determina equazione circonferenza dati due punti e centro appartenente a retta Determina l'equazione della circonferenza passante per i punti A(1;2) e B(3;4) e avente centro sulla retta di equazione x-3y-1=0 \( x^2+y^2-8x-2y+7=0\) 4 Vai
925 Determina equazione circonferenza dati due punti e centro appartenente a retta Scrivi l'equazione della circonferenza passante per i punti A(1;1) e B(3;-1) e avente il centro sulla retta di equazione 2x+3y-9=0 \( x^2+y^2-6x-2y+6=0\) 5 Vai
926 Determina equazione circonferenza dato centro e retta tangente Scrivi l'equazione della circonferenza di centro C(3;-1) e tangente all'asse delle ordinate 3 Vai
927 Determina equazione circonferenza dato centro e retta tangente Trova l'equazione della circonferenza di centro C(3;2) e tangente alla retta passante per i punti A(-1;0) e B(-5;3) \( x^2+y^2-6x-4y-3=0\) 4 Vai
928 Determina equazione circonferenza dato centro e retta tangente Trova l'equazione della circonferenza situata nel secondo quadrante, tangente agli assi cartesiani e avente il centro sulla retta di equazione 3x-7y+20=0 \( x^2+y^2+4x-4y+4=0\) 4 Vai
929 Determina equazione circonferenza dati due punti e retta tangente P(1;2); Q(3;4); r: 3x+y-3=0 6 Vai
930 Determina equazione circonferenza dati un punto e retta tangente Determina l'equazione della circonferenza passante per P(1;1) e tangente in A(0;2) alla retta di equazione y=-3x+2 4 Vai
931 Determina equazione circonferenza dati due punti e retta tangente Scrivi l'equazione della circonferenza passante per l'origine e tangente in A(1;2) alla retta di equazione y=-3x+5 \( x^2+y^2+x-3y=0\) 4 Vai
932 Determina equazione circonferenza dato diametro Scrivi l'equazione della circonferenza avente per diametro il segmento AB, dove A e B sono i punti di intersezione della retta di equazione 3x+2y+1=0 con le rette di equazioni x+y-1=0 e 2x+y=0 4 Vai
933 Determina equazione circonferenza dato centro e un punto Determina l'equazione della circonferenza di centro C(4;2) passante per il punto di intersezione delle rette di equazione y=2x+1 e y=4x-1 \( x^2+y^2-8x-4y+10=0\) 4 Vai
934 Determina equazione circonferenza dati tre punti Determina l'equazione della retta parallela alla retta x-3y+1=0, condotta per il centro della circonferenza passante per i punti (0;2), (1;1), (1;3), e trova l'area del triangolo che questa retta forma con gli assi cartesiani 5 Vai
935 Determina misura della corda generata da retta secante circonferenza Trova la misura della corda staccata sulla retta di equazione x+3y=13 dalla circonferenza tangente all'asse x che ha come centro il punto di ascissa 3 appartenente alla retta di equazione y=2x-1 \( 3\sqrt{10}\) 5 Vai
936 Esercizi di riepilogo determinare equazione della circonferenza Scrivi l'equazione della circonferenza che ha il centro sulla retta 2x-y=5 e passa per i punti A e B in cui la retta x-y+2=0 interseca gli assi cartesiani \( 3x^2+3y^2-10x+10y-32=0\) 5 Vai
937 Esercizi di riepilogo determinare equazione della circonferenza Dopo aver determinato l'equazione della circonferenza di centro C(-2;-4) passante per il punto A(1;2), determina per quale valore del parametro k il punto B(2k+1;k+5) le appartiene 5 Vai
938 Esercizi di riepilogo determinare equazione della circonferenza Dopo aver verificato che il triangolo di vertici A(0;2), B(4;-6) e C(6;0) è un triangolo isoscele, determina l'equazione della circonferenza:
a. circoscritta ad ABC;
b. con centro in C e passante per A e B;
c. con centro in C e tangente ad AB
8 Vai
962 Problema di riepilogo parabola e circonferenza Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, di vertice V(-1;-5), passante per A(1;3). Determina l'equazione della circonferenza avente come estremi di un diametro i punti di intersezione della parabola con la retta 4x+y+9=0 \( y=2x^2+4x-3; x^2+y^2+4x+2y-12=0\) 6 Vai

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