Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    La retta

Equazioni della retta

In questa lezione tratteremo dell'equazione della retta in forma implicita.

Lezione

Equazioni della retta

Equazione della retta in forma implicita

Un’equazione lineare in due variabili x e y è un’equazione di primo grado per entrambe le incognite. Può essere scritta nella forma:\( ax+by+c=0\). Una soluzione dell'equazione è una coppia \( (x_0;y_0)\) di numeri reali che la soddisfa.

Le soluzioni sono infinite e per ottenerle basta sostituire a x un qualsiasi numero reale e determinare il corrispondente valore di y. Data un’equazione lineare in due variabili, a ogni soluzione corrisponde un punto del piano cartesiano, mentre, dato un punto, non sempre le sue coordinate sono una delle infinite soluzioni dell’equazione. Queste soluzioni corrispondono ai punti di una retta e soltanto a essi. Si dimostra che a ogni retta del piano cartesiano corrisponde un’equazione lineare in due variabili e ad ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta.

Diciamo allora che \( ax+by+c=0\) è l'equazione di una retta definita equazione della retta in forma implicita poiché nessuna delle variabili è ricavata in funzione dell'altra.

Rette parallele all'asse x

Prendiamo un punto A(0;k), tracciamo la retta parallela all'asse x passante per questo punto. Essa è formata da tutti i punti aventi ordinata k. Pertanto, se generalizziamo l'equazione della retta passante per A sarà: \( y=k\), equazione di una retta parallela all'asse x.

Se A avesse ordinata 0, l'equazione ottenuta sarebbe y=0, che coincide con l'equazione dell'asse delle ascisse.

Rette parallele all'asse y

Prendiamo un punto A(k;0), tracciamo la retta parallela all'asse y passante per questo punto. Essa è formata da tutti i punti aventi ascissa k. Pertanto, se generalizziamo l'equazione della retta passante per A sarà: \( x=k\), equazione di una retta parallela all'asse y.

Se A avesse ascissa 0, l'equazione ottenuta sarebbe x=0, che coincide con l'equazione dell'asse delle ascisse.

Retta passante per l'origine

Data una retta passante per l'origine e due suoi punti, calcoliamo il rapporto tra ordinata e ascissa di questi due punti otteniamo un valore m che è costante. Questo valore prende il nome di coefficiente angolare. L'equazione di una retta passante per questi due punti e per l'origine ha equazione: \( y=mx\).

Coefficiente angolare e pendenza

Chiamiamo angolo fra retta e asse x l’angolo \( \alpha\) che ha per vertice il loro punto di intersezione e come lati la semiretta costituita dai punti della retta con ordinata positiva e la semiretta sull’asse x di verso positivo. Il coefficiente angolare fornisce informazioni su questo angolo, o meglio sulla "pendenza" della retta rispetto all'asse x. In particolare l'angolo varia in base al valore di m in base a queste regole:

  • Se \( \alpha\) è acuto, m assume valori sempre più grandi man mano che ci si avvicina all'angolo retto
  • Se \( \alpha\) è retto, non esiste alcun valore di m pertanto l'equazione non può rappresentarsi nella forma y=mx
  • Se \( \alpha\) è ottuso, m è negativo e assume valori sempre minori quando ci si avvicina all'angolo retto

Se il coefficiente angolare è pari a 1, allora si ottiene l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante che ha equazione y=x

Se il coefficiente angolare è pari a -1, allora si ottiene l'equazione della bisettrice del secondo e quarto quadrante che ha equazione y=-x

Retta generica non parallela all'asse y

L'equazione di una retta generica non parallela all'asse y è data dall'equazione: y=mx+q, dove m è il coefficiente angolare della retta mentre q è detta ordinata all'origine e rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y. Questo tipo di equazione è detta equazione della retta in forma esplicita. Essa non rappresenta un'equazione generale poichè non comprende le rette parallele all'asse y.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
685 Rappresenta nel piano cartesiano le rette x=-4; y=2 2 Vai
686 Rappresenta nel piano cartesiano le rette 2x-1=0; y-5=0 2 Vai
687 Rappresenta nel piano cartesiano le rette 2x-y=0; 4y+1=0 2 Vai
688 Determina il coefficiente angolare delle seguenti rette \) a) y=\dfrac{x}{4}-1; b)4x+2y-5=0; c) 3y-6=0; d)2x=5\) 2 Vai
689 Determina il coefficiente angolare delle seguenti rette \( a. 7x=-14y; b. 6x-3y=2; c. x+3y=0; d. \dfrac{x+y}{4}=0\) 2 Vai
690 Determina il coefficiente angolare, l'ordinata all'origine e rappresenta le rette a. 2-2x=0; b. y-x-1=0 3 Vai
691 Determina il coefficiente angolare, l'ordinata all'origine e rappresenta le rette a. y=-3x+6: b. 2x-y-2=0 3 Vai
692 Coefficiente angolare e parametro Indica per quali valori di a la retta di equazione y=(2-a)x+a-3 forma con l'asse x un angolo acuto. Se a=2, che angolo forma la retta con l'asse x? a<2 3 Vai
693 Coefficiente angolare e parametro Trova per quali valori di k il grafico della retta di equazione y+(2k-1)x+k=0 forma con l'asse x un angolo ottuso \( k>\dfrac{1}{2}\) 3 Vai
694 Coefficiente angolare e parametro Determina la condizione sul parametro a affinché la retta di equazione 2ay+(a-2)x-1=0 formi un angolo retto con l'asse x a=0 3 Vai
695 Determina l'appartenenza di un punto ad una retta \( 2x-6y-1=0, A\biggl(-\dfrac{1}{2};0\biggr), B\biggl(1;\dfrac{1}{6}\biggr), C(-1;0), D\biggl(10;\dfrac{3}{2}\biggr)\) 3 Vai
696 Determina l'appartenenza di un punto ad una retta \( y=\dfrac{1}{5}x+2, A(-5;3), B(10;4), C(-10;0), D(0;-2)\) 2 Vai
697 Determina l'appartenenza di un punto ad una retta Data la retta di equazione 2x+y-5=0, stabilisci se i punti A(2;1) e B(1;1) appartengono a essa e determina l'ordinata del suo punto C di ascissa 1 e l'ascissa del suo punto D di ordinata 4 3 Vai
698 Appartenenza punto a retta e parametro Dati la retta di equazione x-2y=3 e il punto A(a-2;1-3a), per quale valore di a il punto appartiene alla retta? a=1 3 Vai
699 Appartenenza punto a retta e parametro Trova il valore di k affinché l'equazione (k+1)x-ky+2=0 sia l'equazione di una retta passante per il punto A(1;-2) e disegna tale retta k=-1 3 Vai
700 Appartenenza punto a retta e distanza tra punti Determina quale punto della bisettrice del primo e terzo quadrante ha distanza dal punto A(4;-1) uguale a \( \sqrt{13}\) (1;1), (2;2) 3 Vai
701 Problema generico equazione retta e parametro Trova, se esiste, per quale valore di k l'equazione lineare in x,y \( (k^2+k-2)x+(k^2-k)y+k^2-1=0\):
a. Non rappresenta una retta
b. Rappresenta una retta parallela all'asse y
c. Rappresenta una retta passante per P(1;0)
\( a)k=1; b)k=0; c)k=-\dfrac{3}{2}\) 4 Vai
702 Rappresenta la funzione a tratti \( y=\begin{cases} -x+7 \\[2ex] 7 \end{cases}\) 3 Vai
703 Rappresenta la funzione a tratti \( y=\begin{cases} -5x+1 se x\neq 1 \\[2ex] 2x se x>1 \end{cases}\) 3 Vai
704 Rappresenta funzione con valore assoluto y=-|x| 3 Vai
705 Rappresenta funzione con valore assoluto y=|x|+1 3 Vai
706 Determina equazione della retta Trova l'equazione della retta che passa per il punto P(1;-5) ed è parallela all'asse x 3 Vai
707 Determina equazione della retta Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto P(2;-6) parallele agli assi cartesiani e di quella passante per P e per l'origine 3 Vai
708 Determina equazione della retta dato punto e coefficiente angolare \( A(-1;2); m=-1\) 3 Vai
709 Determina equazione della retta dato punto e coefficiente angolare \( A\biggl(3;-\dfrac{1}{2}\biggr); m=3\) 3 Vai
710 Determina equazione della retta dato punto e coefficiente angolare Scrivi l'equazione della retta passante per l'origine e di coefficiente angolare -2 e rappresentala. Trova i punti della retta che hanno distanza \( 3\sqrt{5}\) dall'origine. (3;-6), (-3;6) 3 Vai
711 Determina coefficiente angolare della retta dati due punti \( A(0;3); B(2;4)\) 3 Vai
712 Determina coefficiente angolare della retta dati due punti \( A(1;5); B(3;6)\) 3 Vai
713 Determina equazione della retta dati due punti \( A(3;0); B(0;5)\) 3 Vai
714 Determina equazione della retta dati due punti \( A(-5;0); B(7;-2)\) 3 Vai
715 Equazione della retta passante per due punti e parametro Determina il valore del parametro k affinché il punto A(8k-6;2k) appartenga alla retta passante per i punti \( P\biggl(\dfrac{1}{2};0\biggr)\) e \( Q\biggl(3;\dfrac{5}{3}\biggr)\). \( k=\dfrac{13}{10}\) 4 Vai

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