Le equazioni di grado superiore al secondo

Per le equazioni di grado superiore al secondo non esistono formule risolutive generiche. Presenteremo alcuni metodi per la risoluzione di particolari equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni risolvibili con la scomposizione in fattori

Consideriamo un'equazione di terzo grado e raccogliamo la x: \( x^3+2x^2-3x=0 -> x(x^2+2x-3)=0\).

Applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo: \( x=0; x^2+2x-3=0\); dunque un'equazione di primo grado ed una di secondo, che siamo in grado di risolvere con i metodi risolutivi già noti.

In generale, se un’equazione è scritta nella forma P(x)=0, con P(x) che è un polinomio di grado n, possiamo cercare di ottenere una o più soluzioni dell’equazione scomponendo il polinomio in un prodotto di polinomi di grado minore di n e applicando la legge di annullamento del prodotto.

Le equazioni risolvibili con la regola di Ruffini

Ricordiamo che lo zero di un polinomio è quel valore che annulla il polinomio. Dati un polinomio e uno zero \( x_1\), il polinomio di partenza può essere scomposto nel prodotto tra il polinomio quoziente e il binomio \(x-x_1\). Otteniamo: \( P(x)=(x-x_1)Q(x)\).

Zeri razionali di un polinomio: se la frazione ridotta ai minimi termini \(\dfrac{N}{D}\) è uno zero di un polinomio a coefficienti interi, allora N è un divisore intero del termine noto e D è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo.