Equazioni di secondo grado
Un’equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i princìpi di equivalenza già studiati per le equazioni di primo grado, si può scrivere nella forma:\( ax^2+bx+c=0\), con \(a\neq 0\)
La forma:\( ax^2+bx+c=0\) è detta forma normale, dove x è l'incognita, le lettere a,b e c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell'equazione. Il coefficiente c è detto termine noto.
Se tutti e tre i coefficienti sono diversi da 0, l'equazione si definisce completa. Se invece almeno uno dei due coefficienti b o c è nullo, l'equazione è incompleta.
Una soluzione (o radice) dell’equazione è un valore che, sostituito all’incognita, rende vera l’uguaglianza fra i due membri.
Risoluzione di un'equazione di secondo grado
Il metodo del completamento del quadrato
Un’equazione di secondo grado completa può essere risolta con il metodo del completamento del quadrato.
L'equazione \( ax^2+bx+c=0\), con a diverso da 0:
- se \( b^2-4ac>0\), ha due soluzioni reali e distinte: \( x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
- se \( b^2-4ac=0\), ha due soluzioni reali coincidenti: \( x=-\dfrac{b}{2a}\)
- se \( b^2-4ac<0\), non ha soluzioni reali
Definiamo discriminante, che indichiamo con la lettera \( \Delta\), l'espressione \( \Delta=b^2-4ac\)
L'espressione \( x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) è detta formula risolutiva dell'equazione di secondo grado e permette di calcolare le radici con discriminante maggiore o uguale a 0.
Se il Delta è maggiore di zero, si ottengono due radici reali distinte.
Se il Delta è pari a zero, la soluzione è doppia
Se il Delta è minore di zero, l'equazione non ha soluzioni nell'insieme dei numeri Reali
La formula ridotta
Se il coefficiente b è un numero pari è utile applicare una formula, detta formula ridotta, che è pari a: \( x=\dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\biggl(\dfrac{b}{2}\biggr)^24ac}}{a}\) In questo caso parliamo di \( \dfrac{\Delta}{4}=\biggl(\dfrac{b}{2}\biggr)-ac\).