• Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Equazioni di secondo grado

Equazioni di secondo grado

In questa lezione introdurremo le equazioni di secondo grado e ci occuperemo del metodo del completamento del quadrato, utile per risolvere una equazione di questo tipo.

Lezione

Equazioni di secondo grado

Un’equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i princìpi di equivalenza già studiati per le equazioni di primo grado, si può scrivere nella forma:\( ax^2+bx+c=0\), con \(a\neq 0\)

La forma:\( ax^2+bx+c=0\) è detta forma normale, dove x è l'incognita, le lettere a,b e c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell'equazione. Il coefficiente c è detto termine noto.

Se tutti e tre i coefficienti sono diversi da 0, l'equazione si definisce completa. Se invece almeno uno dei due coefficienti b o c è nullo, l'equazione è incompleta.

Una soluzione (o radice) dell’equazione è un valore che, sostituito all’incognita, rende vera l’uguaglianza fra i due membri.

Risoluzione di un'equazione di secondo grado

Il metodo del completamento del quadrato

Un’equazione di secondo grado completa può essere risolta con il metodo del completamento del quadrato.

L'equazione \( ax^2+bx+c=0\), con a diverso da 0:

  • se \( b^2-4ac>0\), ha due soluzioni reali e distinte: \( x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
  • se \( b^2-4ac=0\), ha due soluzioni reali coincidenti: \( x=-\dfrac{b}{2a}\)
  • se \( b^2-4ac<0\), non ha soluzioni reali

Definiamo discriminante, che indichiamo con la lettera \( \Delta\), l'espressione \( \Delta=b^2-4ac\)

L'espressione \( x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) è detta formula risolutiva dell'equazione di secondo grado e permette di calcolare le radici con discriminante maggiore o uguale a 0.

Se il Delta è maggiore di zero, si ottengono due radici reali distinte.

Se il Delta è pari a zero, la soluzione è doppia

Se il Delta è minore di zero, l'equazione non ha soluzioni nell'insieme dei numeri Reali

La formula ridotta

Se il coefficiente b è un numero pari è utile applicare una formula, detta formula ridotta, che è pari a:

\( x=\dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\biggl(\dfrac{b}{2}\biggr)^24ac}}{a}\)

In questo caso parliamo di \( \dfrac{\Delta}{4}=\biggl(\dfrac{b}{2}\biggr)-ac\).

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
327 Ridurre in forma normale equazione secondo grado \( x(x-2)+x^2-2x+6=3x^2\) 3 Vai
328 Ridurre in forma normale equazione secondo grado \( 4x(1-x)-2(x-1)(x+1)=2x\) 4 Vai
329 Ridurre in forma normale equazione secondo grado \( (\sqrt{3}+1)(x-3)=x(x-\sqrt{3})\) 4 Vai
330 Risoluzione equazione secondo grado completa \( 6x^2+13x+7=0\) \( -1; -\dfrac{7}{6}\) 3 Vai
331 Risoluzione equazione secondo grado completa \( 4x^2-8x+3=0\) \( \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\) 4 Vai
332 Risoluzione equazione secondo grado completa \( x^2-2x-3=0\) -1;3 4 Vai
333 Risoluzione equazione secondo grado completa \( x^2+8x-9=0\) 4 Vai
334 Risoluzione equazione secondo grado completa \( 10y^2+8y+5=0\) Impossibile 4 Vai
335 Risoluzione equazione secondo grado completa \( 24t+13-4t^2=0\) \( -\dfrac{1}{2};\dfrac{13}{2}\) 4 Vai
336 Risoluzione equazione secondo grado completa \( x^2+2x-2\sqrt{2}-2=0\) 4 Vai
340 Risoluzione equazione secondo grado \( 2x^2-5x-3=0\) 4 Vai
341 Risoluzione equazione secondo grado \( 4x^2-4x+1=0\) 4 Vai
342 Risoluzione equazione secondo grado \( x^2-x+2=0\) Impossibile 3 Vai
343 Risoluzione equazione secondo grado \( x^2+5x+6=0\) 4 Vai
344 Risoluzione equazione secondo grado \( x^2+5x+7=0\) Impossibile 4 Vai
358 Problemi numerici risolvibili con equazioni di secondo grado Il doppio del quadrato di un numero intero è pari a 50. Qual è il numero? +5 o -5 3 Vai
359 Problemi numerici risolvibili con equazioni di secondo grado Sommando a 7 il triplo del quadrato di numero intero si ottiene 55. Qual è il numero? +4 o -4 4 Vai
360 Problemi numerici risolvibili con equazioni di secondo grado Il doppio aumentato di 9 del prodotto di un numero naturale con un altro, che lo supera di 4, è pari a 3 volte il quadrato del primo. Determina i due numeri. 9;13 4 Vai
361 Problemi numerici risolvibili con equazioni di secondo grado Trova quali numeri reali sono tali che la somma del numero con il suo quadrato è 6 -3;2 3 Vai
362 Problemi geometrici risolvibili con equazioni di secondo grado Dato un segmento AB di lunghezza 9cm, determina su di esso un punto P, tale che AP sia medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte restante aumentata di 1cm. AP=6cm 4 Vai
363 Problemi geometrici risolvibili con equazioni di secondo grado Un quadrato ha perimetro 24cm. Un rettangolo ha lo stesso perimetro, mentre l'area è pari ai \( \dfrac{3}{4}\) di quella del quadrato. Determina le dimensioni del rettangolo 3cm; 9cm 4 Vai
364 Problemi geometrici risolvibili con equazioni di secondo grado Determina le lunghezze dei due lati di un rettangolo di area \( 15cm^2\) e perimetro 16cm. 3cm; 5cm 4 Vai
365 Problemi geometrici risolvibili con equazioni di secondo grado In un triangolo isoscele base e altezza stanno tra loro come 3 sta a 2, e il perimetro è 16cm. Determina l'area \( 12cm^2\) 4 Vai
366 Problemi geometrici risolvibili con equazioni di secondo grado In un triangolo rettangolo, un cateto misura 7cm in più dell'altro cateto e l'ipotenusa 14cm in meno della somma dei due cateti. Determina il perimetro del triangolo. 84cm 4 Vai

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