• Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Equazioni e disequazioni goniometriche

Equazioni goniometriche elementari

In questa lezione ci occuperemo delle equazioni goniometriche elementari e dei diversi metodi di risoluzione.

Lezione

Equazioni goniometriche elementari

Un'equazione goniometrica contiene almeno una funzione goniometrica dell'incognita.

Le equazioni goniometriche elementari sono quelle del tipo: sen(x)=a, cos(x)=b, tan(x)=c; con a,b,c numeri reali.

Sen(x)=a

Disegniamo la circonferenza goniometrica e indichiamo gli assi cartesiani con X e Y, per non confonderli con l'incognita x dell'equazione goniometrica. Poichè il seno di un angolo rappresenta l'ordinata del punto della circonferenza goniometrica a cui l'angolo è associato, dobbiamo trovare i punti della circonferenza goniometrica di ordinata a, ovvero i punti di intersezione della circonferenza \( X^2+Y^2=1\) con la retta di equazione Y=a.

In generale, l'equazione elementare sen(x)=a può essere:

  • determinata se \( -1\leq a\leq 1\); una volta trovata una soluzione \(\alpha\), cioè un angolo \(\alpha\) tale che \( sen(\alpha)=a\), le soluzioni dell'equazione sono: \( x=\alpha +2k\pi \vee x=(\pi -\alpha)+2k\pi\)
  • impossibile se a < -1 oppure a > 1
  • a=1, sen(x)=1; soluzioni: \( x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)
  • a=-1, sen(x)=-1; soluzioni: \( x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)

Se il valore a dell'equazione sen(x)=a non corrisponde ad un angolo noto del primo o del quarto quadrante, possiamo applicare la funzione inversa del seno (x=arcsen a) e calcolare il valore approssimato dell'angolo \(\alpha\).

cos(x)=b

Disegniamo la circonferenza goniometrica e indichiamo gli assi cartesiani con X e Y, per non confonderli con l'incognita x dell'equazione goniometrica. Poichè il coseno di un angolo rappresenta l'ascissa del punto della circonferenza goniometrica a cui l'angolo è associato, dobbiamo trovare i punti della circonferenza goniometrica di ascissa b, ovvero i punti di intersezione della circonferenza \( X^2+Y^2=1\) con la retta di equazione x=b.

In generale, l'equazione elementare cos(x)=b può essere:

  • determinata se \( -1\leq b\leq 1\); una volta trovata una soluzione \(\beta\), cioè un angolo \(\beta\) tale che \( cos(\beta)=b\), le soluzioni dell'equazione sono: \( x=\beta +2k\pi \vee x=-\beta)+2k\pi\)
  • impossibile se a < -1 oppure a > 1
  • b=1, cos(x)=1; soluzioni: \( x=2k\pi\)
  • b=-1, cos(x)=-1; soluzioni: \( x=\pi+2k\pi\)

Se il valore b dell'equazione cos(x)=b non corrisponde ad un angolo noto del primo o del quarto quadrante, possiamo applicare la funzione inversa del coseno (x=arccos b) e calcolare il valore approssimato dell'angolo \(\beta\).

tan(x)=c

La tangente di un angolo è l'ordinata del punto di intersezione della retta tangente alla circonferenza nell'origine degli archi con la retta OP che individua l'angolo.

Data l'equazione tan(x)=c, il valore c corrisponde sempre all'ordinata del punto T, per ogni valore di c si può determinare il punto T e la retta OT interseca la circonferenza in due punti distinti, quindi l'equazione elementare tan(x)=c è sempre determinata. Data una soluzione \(\gamma\), cioè un angolo \(\gamma\) tale che \( tan(\gamma)=c\), le soluzioni dell'equazione sono \( x=\gamma +k\pi\).

Particolari equazioni goniometriche elementari

Prendiamo in considerazione l'equazione goniometrica elementare: \( sen(\alpha)=sen(\alpha ')\). Osserviamo che due angoli hanno lo stesso seno se e solo se sono congruenti o supplementari, a meno di un numero intero di angoli giro: \( sen(\alpha)=sen(\alpha ') -> \alpha=\alpha '+2k\pi \vee \alpha + \alpha '=\pi +2k\pi\)

Consideriamo l'equazione \( sen(\alpha)=-sen(\alpha ')\). Possiamo utilizzare le proprietà degli angoli associati ed ottenere: \( sen(\alpha)=sen(-\alpha ')\)

Consideriamo l'equazione \( sen(\alpha)=cos(\alpha ')\), per le proprietà degli archi associati abbiamo: \(cos(\alpha ')=sen\biggl(\dfrac{\pi}{2}-\alpha '\biggr)\) che ci consente di ricondurci ad un caso noto.

Consideriamo l'equazione \( sen(\alpha)=-cos(\alpha ')\). Per le proprietà degli archi associati abbiamo: \(cos(\alpha ')=sen\biggl(\dfrac{\pi}{2}-\alpha '\biggr)\) da cui \(-cos(\alpha ')=-sen\biggl(\dfrac{\pi}{2}-\alpha '\biggr)\). Otteniamo dunque \(sen(\alpha)=sen\biggl(-\dfrac{\pi}{2}-\alpha '\biggr)\)

Consideriamo l'equazione \( cos(\alpha)=-cos(\alpha ')\). Due angoli hanno stesso coseno se e solo se sono congruenti oppure opposti, a meno di un numero intero di angoli giro. Otteniamo: \( cos(\alpha)=cos(\alpha ') -> \alpha=\alpha '+2k\pi \vee \alpha=-\alpha +2k\pi\)

Consideriamo l'equazione \( cos(\alpha)=-cos(\alpha ')\). Poichè gli angoli supplementari hanno coseni opposti, ossia \( cos(\pi -\alpha)=-cos(\alpha)\), possiamo scrivere l'equazione nella forma \( cos(\alpha)=cos(\pi - \alpha '\)

Consideriamo l'equazione \( tan(\alpha)=tan(\alpha ')\). In questo caso due angoli hanno stessa tangente se sono congruenti, a meno di un numero intero di angoli piatti: \( \alpha=\alpha '+k\pi\).

Consideriamo l'equazione \( tan(\alpha)=-tan(\alpha ')\). In questo caso possiamo riscrivere l'equazione nella forma \( tan(\alpha)=tan(-\alpha), che permette di ricondurci a: \( \alpha=-\alpha '+k\pi\).

Equazioni riconducibili a equazioni elementari

Per ricondurre equazioni che contengono più funzioni goniometriche ad equazioni elementari si devono seguire questi passi:

  • esprimere le diverse funzioni mediante una sola di esse, utilizzando le formule goniometriche
  • risolvere l'equazione ottenuta rispetto a tale funzione considerata come incognita
  • risolvere le equazioni elementari ottenute

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
1783 Rappresenta nella circonferenza goniometrica le seguenti soluzioni \( a. x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\);
\( b. x=\dfrac{3}{2}\pi+k\pi\)
3 Vai
1784 Risoluzione equazioni goniometriche \( 2sin{x}-4=3\) Impossibile 2 Vai
1785 Risoluzione equazioni goniometriche \( 2sin{\dfrac{x}{3}}+\sqrt{3}=0\) 3 Vai
1786 Risoluzione equazioni goniometriche \( 2(sin{2x}+3)-1=3(1-2sin{2x})+2\) \( k\dfrac{\pi}{2}\) 3 Vai
1787 Risoluzione equazioni goniometriche \( \dfrac{3}{5}sin{x}-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{2}{5}sin{x}-sin{\dfrac{\pi}{2}}+\dfrac{2}{3}\) 3 Vai
1788 Risoluzione equazioni goniometriche \( (sin{3x}-2)(sin{3x}-3)=(sin{3x}+2)(sin{3x}+3)\) \( k\dfrac{\pi}{3}\) 5 Vai
1789 Risoluzione equazioni goniometriche \( 2sin{x}-2cos{45°}=2(\sqrt{2}sin{60°}-sin{x})\) 5 Vai
1790 Risoluzione equazioni goniometriche \( 2cos{6x}-1=0\) 3 Vai
1791 Risoluzione equazioni goniometriche \( cos{3x}=-1-cos{3x}\) 3 Vai
1792 Risoluzione equazioni goniometriche \( 2cos\biggl(x-\dfrac{\pi}{18}\biggr)+1=0\) 4 Vai
1793 Risoluzione equazioni goniometriche \( 2(cos{2x}+3)-1=3(1-cos{2x})+2\) 4 Vai
1794 Risoluzione equazioni goniometriche \( 4cos(x-115°)-5+6cos(x-115°)=cos(x-115°)+4\) \( 115°+k360°\) 4 Vai
1795 Risoluzione equazioni goniometriche \( 2|cos{x}|=1\) 5 Vai
1796 Risoluzione equazioni goniometriche \( tan{x}=2\) 3 Vai
1797 Risoluzione equazioni goniometriche \( tan\biggl(x+\dfrac{\pi}{6}\biggr)+1=0\) 4 Vai
1798 Risoluzione equazioni goniometriche \( 3tan{6x}+\sqrt{3}=0\) 4 Vai
1799 Risoluzione equazioni goniometriche \( -2\sqrt{3}tan(x+100°)=4[1+\sqrt{3}tan(x+100°)]+2\) \( -130°+k180°\) 7 Vai
1800 Risoluzione equazioni goniometriche \( sin\biggl(2x-\dfrac{\pi}{8}\biggr)=-sin\biggl(\dfrac{3}{4}\pi-3x\biggr)\) 3 Vai
1801 Risoluzione equazioni goniometriche \(cos{6x}=-cos{4x}\) 4 Vai
1802 Risoluzione equazioni goniometriche \( sin\biggl(4x-\dfrac{\pi}{10}\biggr)=-cos\biggl(3x+\dfrac{\pi}{5}\biggr)\) 4 Vai
1803 Risoluzione equazioni goniometriche \( cos\biggl(4x-\dfrac{2}{5}\pi\biggr)=-cos\biggl(3x+\dfrac{4}{5}\pi\biggr)\) 4 Vai
1804 Risoluzione equazioni goniometriche \( sin(2x-108°)=sin(-54°-5x)\) 4 Vai
1805 Risoluzione equazioni goniometriche \( sin\biggl(2x-\dfrac{\pi}{3}\biggr)-sin{x}=0\) 4 Vai
1806 Risoluzione equazioni goniometriche \( |cos{x}|=cos{3x}\) 6 Vai
1807 Risoluzione equazioni goniometriche \( tan\biggl(2x+\dfrac{\pi}{5}\biggr)=tan\biggl(5x+\dfrac{\pi}{3}\biggr)\) 3 Vai
1808 Risoluzione equazioni goniometriche \( tan{2x}-cot{\dfrac{3}{2}x}=0\) 4 Vai
1809 Risoluzione equazioni goniometriche \( sin{x}cos{x}+sin{x}=0\) \( k\pi\) 4 Vai
1810 Risoluzione equazioni goniometriche \( cos(\pi-x)+cos^2{x}=0\) 5 Vai
1811 Risoluzione equazioni goniometriche \( 5sin(\pi-x)+4-2cos^2{x}=0\) 5 Vai
1812 Risoluzione equazioni goniometriche \( 3tan^2{x}-4\sqrt{3}tan{x}+3=0\) 4 Vai
1813 Risoluzione equazioni goniometriche \( 3sin{x}\cdot cot^2{x}+5sin{x}=7\) 5 Vai
1814 Risoluzione equazioni goniometriche \( tan^2{x}-(1+\sqrt{3})tan{x}+\sqrt{3}=0\) 6 Vai
1815 Risoluzione equazioni goniometriche \( 4sin^4{x}-5sin^2{x}+1=0\) 6 Vai
1816 Risoluzione equazioni goniometriche \( \dfrac{2}{\sqrt{2-sin{x}}}-\sqrt{sin{x}}=\sqrt{2+cos\biggl(\dfrac{\pi}{2}+x\biggr)}\) 7 Vai
1817 Risoluzione equazioni goniometriche \( 3sin{2x}+10sin{x}=0\) \( k\pi\) 4 Vai
1818 Risoluzione equazioni goniometriche \( 2cos\biggl(x+\dfrac{\pi}{4}\biggr)=\sqrt{2}(1-sin{x})\) \( 2k\pi\) 4 Vai
1819 Risoluzione equazioni goniometriche \( 3sin{2x}\cdot tan{x}-2cos^2{x}=2\) 4 Vai
1820 Risoluzione equazioni goniometriche \( cos^2{x}+sin^2{2x}=1\) 4 Vai
1821 Risoluzione equazioni goniometriche \( \sqrt{2}sin{2x}+2cos{x}-\sqrt{2}sin{x}-1=0\) 4 Vai
1822 Risoluzione equazioni goniometriche \( sin{2x}\cdot cot{x}+cos{x}-1=0\) 6 Vai
1823 Risoluzione equazioni goniometriche \( 2cos{x}\cdot sin\biggl(x+\dfrac{2}{3}\pi\biggr)=sin{x}(-cos{x}-\sqrt{3}sin{x})+tan{x}\) 7 Vai
1824 Determina le intersezioni con asse x \( y=2sin^2{x}-3sin{x}+1\) 3 Vai

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