Equazioni goniometriche elementari

Un'equazione goniometrica contiene almeno una funzione goniometrica dell'incognita.

Le equazioni goniometriche elementari sono quelle del tipo: sen(x)=a, cos(x)=b, tan(x)=c; con a,b,c numeri reali.

Sen(x)=a

Disegniamo la circonferenza goniometrica e indichiamo gli assi cartesiani con X e Y, per non confonderli con l'incognita x dell'equazione goniometrica. Poichè il seno di un angolo rappresenta l'ordinata del punto della circonferenza goniometrica a cui l'angolo è associato, dobbiamo trovare i punti della circonferenza goniometrica di ordinata a, ovvero i punti di intersezione della circonferenza \( X^2+Y^2=1\) con la retta di equazione Y=a.

In generale, l'equazione elementare sen(x)=a può essere:

• determinata se \( -1\leq a\leq 1\); una volta trovata una soluzione \(\alpha\), cioè un angolo \(\alpha\) tale che \( sen(\alpha)=a\), le soluzioni dell'equazione sono: \( x=\alpha +2k\pi \vee x=(\pi -\alpha)+2k\pi\)
• impossibile se a < -1 oppure a > 1
• a=1, sen(x)=1; soluzioni: \( x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)
• a=-1, sen(x)=-1; soluzioni: \( x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)

Se il valore a dell'equazione sen(x)=a non corrisponde ad un angolo noto del primo o del quarto quadrante, possiamo applicare la funzione inversa del seno (x=arcsen a) e calcolare il valore approssimato dell'angolo \(\alpha\).

cos(x)=b

Disegniamo la circonferenza goniometrica e indichiamo gli assi cartesiani con X e Y, per non confonderli con l'incognita x dell'equazione goniometrica. Poichè il coseno di un angolo rappresenta l'ascissa del punto della circonferenza goniometrica a cui l'angolo è associato, dobbiamo trovare i punti della circonferenza goniometrica di ascissa b, ovvero i punti di intersezione della circonferenza \( X^2+Y^2=1\) con la retta di equazione x=b.

In generale, l'equazione elementare cos(x)=b può essere:

• determinata se \( -1\leq b\leq 1\); una volta trovata una soluzione \(\beta\), cioè un angolo \(\beta\) tale che \( cos(\beta)=b\), le soluzioni dell'equazione sono: \( x=\beta +2k\pi \vee x=-\beta)+2k\pi\)
• impossibile se a < -1 oppure a > 1
• b=1, cos(x)=1; soluzioni: \( x=2k\pi\)
• b=-1, cos(x)=-1; soluzioni: \( x=\pi+2k\pi\)

Se il valore b dell'equazione cos(x)=b non corrisponde ad un angolo noto del primo o del quarto quadrante, possiamo applicare la funzione inversa del coseno (x=arccos b) e calcolare il valore approssimato dell'angolo \(\beta\).

tan(x)=c

La tangente di un angolo è l'ordinata del punto di intersezione della retta tangente alla circonferenza nell'origine degli archi con la retta OP che individua l'angolo.

Data l'equazione tan(x)=c, il valore c corrisponde sempre all'ordinata del punto T, per ogni valore di c si può determinare il punto T e la retta OT interseca la circonferenza in due punti distinti, quindi l'equazione elementare tan(x)=c è sempre determinata. Data una soluzione \(\gamma\), cioè un angolo \(\gamma\) tale che \( tan(\gamma)=c\), le soluzioni dell'equazione sono \( x=\gamma +k\pi\).

Particolari equazioni goniometriche elementari

Prendiamo in considerazione l'equazione goniometrica elementare: \( sen(\alpha)=sen(\alpha ')\). Osserviamo che due angoli hanno lo stesso seno se e solo se sono congruenti o supplementari, a meno di un numero intero di angoli giro: \( sen(\alpha)=sen(\alpha ') -> \alpha=\alpha '+2k\pi \vee \alpha + \alpha '=\pi +2k\pi\)

Consideriamo l'equazione \( sen(\alpha)=-sen(\alpha ')\). Possiamo utilizzare le proprietà degli angoli associati ed ottenere: \( sen(\alpha)=sen(-\alpha ')\)

Consideriamo l'equazione \( sen(\alpha)=cos(\alpha ')\), per le proprietà degli archi associati abbiamo: \(cos(\alpha ')=sen\biggl(\dfrac{\pi}{2}-\alpha '\biggr)\) che ci consente di ricondurci ad un caso noto.

Consideriamo l'equazione \( sen(\alpha)=-cos(\alpha ')\). Per le proprietà degli archi associati abbiamo: \(cos(\alpha ')=sen\biggl(\dfrac{\pi}{2}-\alpha '\biggr)\) da cui \(-cos(\alpha ')=-sen\biggl(\dfrac{\pi}{2}-\alpha '\biggr)\). Otteniamo dunque \(sen(\alpha)=sen\biggl(-\dfrac{\pi}{2}-\alpha '\biggr)\)

Consideriamo l'equazione \( cos(\alpha)=-cos(\alpha ')\). Due angoli hanno stesso coseno se e solo se sono congruenti oppure opposti, a meno di un numero intero di angoli giro. Otteniamo: \( cos(\alpha)=cos(\alpha ') -> \alpha=\alpha '+2k\pi \vee \alpha=-\alpha +2k\pi\)

Consideriamo l'equazione \( cos(\alpha)=-cos(\alpha ')\). Poichè gli angoli supplementari hanno coseni opposti, ossia \( cos(\pi -\alpha)=-cos(\alpha)\), possiamo scrivere l'equazione nella forma \( cos(\alpha)=cos(\pi - \alpha '\)

Consideriamo l'equazione \( tan(\alpha)=tan(\alpha ')\). In questo caso due angoli hanno stessa tangente se sono congruenti, a meno di un numero intero di angoli piatti: \( \alpha=\alpha '+k\pi\).

Consideriamo l'equazione \( tan(\alpha)=-tan(\alpha ')\). In questo caso possiamo riscrivere l'equazione nella forma \( tan(\alpha)=tan(-\alpha), che permette di ricondurci a: \( \alpha=-\alpha '+k\pi\).

Equazioni riconducibili a equazioni elementari

Per ricondurre equazioni che contengono più funzioni goniometriche ad equazioni elementari si devono seguire questi passi:

• esprimere le diverse funzioni mediante una sola di esse, utilizzando le formule goniometriche
• risolvere l'equazione ottenuta rispetto a tale funzione considerata come incognita
• risolvere le equazioni elementari ottenute