• Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Equazioni e disequazioni goniometriche

Equazioni lineari in seno e coseno

In questa lezione ci occuperemo dei tre metodi risolutivi delle equazioni lineari in seno e coseno

Lezione

Equazioni lineari in seno e coseno

Un'equazione goniometrica lineare in seno e coseno si può ricondurre alla forma: \( asen(x)+bcos(x)+c=0\), con a,b,c reali ed a e b non nulli

Per risolvere un'equazione di questo tipo ci sono tre metodi.

Primo metodo: algebrico

Distinguiamo due casi

Se c=0

Con c=0 l'equazione diventa \( asen(x)+bcos(x)=0\), notiamo che \( x\neq \dfrac{\pi}{2}\) perchè se cosi non fosse si annullerebbe il seno e violeremmo una delle condizioni di partenza. Pertanto poichè vale questa condizione possiamo dividere entrambi i membri per cos(x) ottenendo: \( atan(x)+b=0 -> tan(x)=-\dfrac{b}{a}\)

Se \( c\neq 0\)

Per la soluzione di questa equazione si utilizzano le formule parametriche:\( sen(x)=\dfrac{2t}{1+t^2}, cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) con \( t=tan(\dfrac{x}{2}\) e \( x\neq \pi + 2k\pi\)

Sostituendo otteniamo un'equazione del tipo: \( a't^2+b't+c'=0\). Affinchè si possano utilizzare le formule parametriche occorre verificare che l'equazione non ammetta come soluzioni: \( x=\pi+2k\pi\). Risolvendo poi si ottengono tutte le altre soluzioni.

Secondo metodo: grafico

Risolviamo un'equazione lineare in seno e coseno con l'ausilio della geometria analitica. Consideriamo il sistema composto dalle equazioni: \( asen(x)+bcos(x)+c=0\) e \( sen^2(x)+cos^2(x)=1\), derivante dalla prima relazione fondamentale della goniometria. Otteniamo:

\( \begin{cases} asen(x)+bcos(x)+c=0 \\[2ex] sen^2(x)+cos^2(x)=1 \end{cases}\)

Poniamo cos(x)=X e sen(x)=Y e otteniamo un sistema algebrico:

\( \begin{cases} aY+bX+c=0 \\[2ex] X^2+Y^2=1 \end{cases}\)

Troviamo le soluzioni dell'equazione lineare, rappresentate dalle coordinate dei punti di intersezione tra retta e circonferenza.

Terzo metodo: angolo aggiunto

Sappiamo che l'espressione \( asen(x)+bcos(x)\) equivale a \( rsen(x+\alpha)\) con \( r=\sqrt{a^2+b^2}\) e \( tan(\alpha)=\dfrac{b}{a}\), è possibile trasformare l'equazione lineare \( asen(x)+bcos(x)+c=0\) in \( rsen(x+\alpha)+c=0 -> sen(x+\alpha)=-\dfrac{c}{r}\)

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
1825 Risoluzione equazioni goniometriche lineari \( cos{x}+sin{x}-3=0\) Impossibile 3 Vai
1826 Risoluzione equazioni goniometriche lineari \( \sqrt{3}sin{x}-2cos{x}=\sqrt{3}-cos{x}\) 4 Vai
1827 Risoluzione equazioni goniometriche lineari \( \sqrt{3}sin{x}+cos{x}=\sqrt{3}\) 4 Vai
1828 Risoluzione equazioni goniometriche lineari \( \sqrt{3}sin{3x}+cos{3x}=\sqrt{3}\) 4 Vai
1829 Risoluzione equazioni goniometriche lineari \( sin{x}+3cos{x}=2+\sqrt{2}cos\biggl(x+\dfrac{\pi}{4}\biggr)\) 6 Vai
1830 Risoluzione equazioni goniometriche lineari \( sin\biggl(\dfrac{3}{4}\pi+x\biggr)+cos\biggl(x-\dfrac{7}{4}\pi\biggr)=\sqrt{2}\) 6 Vai

Richiedi esercizio

Hai difficoltá con un esercizio riguardante questo argomento? Non perdere tempo e denaro in lunghe lezioni private. Acquista subito il pacchetto GIORNO ed in poche ore riceverai la video spiegazione del tuo esercizio. In piú potrai usufruire per 24 ore di tutte le lezioni e di tutti gli esercizi svolti presenti sul nostro sito.

Se sei cliente Tim, Vodafone o WindTre potrai pagare comodamente con il tuo smartphone. Inserendo il tuo numero telefonico riceverai un sms con un codice ed inserendo quel codice acquisterai il nostro servizio.

Acquista subito

Offerte

Puoi avere accesso a tutti i corsi, tutte le lezioni e gli esercizi, ai webinar ed avere due esercizi svolti al mese per un anno a soli 14,99€. Acquista subito questo pacchetto.

Puoi scegliere un periodo temporale inferiore pari ad un solo mese ed avere accesso a tutti i corsi, tutte le lezioni e gli esercizi, ai webinar ed avere due esercizi svolti a richiesta a soli 7,99€. Acquista subito

Puoi acquistare solo questo corso ed avrai accesso illimitato per un anno a soli 6,99€. Acquista subito

Webinar

Prova subito i nostri corsi gratuitamente

Il tuo carrello

Nome pacchetto Durata Totale
Prova Gratuita 2 giorni € 0.00
Totale € 0.00