In questa lezione ci occuperemo delle equazioni parametriche e forniremo alcuni esempi che ci condurranno alla soluzione delle stesse.
Lezione
Le equazioni parametriche
Quando in un’equazione letterale si richiede che il valore di una lettera (ovviamente non l’incognita) sia tale da rendere vera una condizione, allora la lettera prende il nome di parametro e l’equazione si chiama parametrica.
Analizziamo alcuni casi possibili:
1) Radici reali e distinte: in questo caso occorre determinare il valore del parametro k in modo tale che il Delta sia maggiore o uguale a 0. Pertanto si ricava il Delta e si pone il polinomio individuato maggiore o uguale al zero. La soluzione di questa disequazione determinerà i valori del parametro che soddisfano la nostra richiesta di partenza.
2) Una della radici è pari a un valore assegnato: in questo caso occorre sostituire il valore assegnato all'incognita e ricavare l'opportuno valore assunto dal parametro, che diventa, a sua volta, l'incognita.
3) La somma, oppure il prodotto,delle radici è un valore noto: data l'equazione \( ax^2+bx+c=0\) si applicano le seguente condizioni:
- \( \Delta \geq 0\), affinchè le radici siano reali
- \( -\dfrac{b}{a}=s\), affinchè la somma delle radici sia s
- \( \dfrac{c}{a}=p\), affinchè il prodotto delle radici sia p
Se la somma delle radici è pari a 0, le due radici sono opposte:\(x_1+x_2=0; x_1=-x_2\)
Se il prodotto della radici è pari a 1, le radici sono reciproche:\( x_1\cdot x_2=1; x_1=\dfrac{1}{x_2}\). Se il prodotto è pari a -1, le radici sono antireciproche: \( x_1\cdot x_2=-1; x_1=-\dfrac{1}{x_2}\)
4) La somma dei reciproci delle radici è un valore noto r: in questo caso dobbiamo imporre le seguenti condizioni:
- \( \Delta \geq 0\)
- \( \dfrac{s}{p}=-\dfrac{b}{c}=r\)
Esercizi
| # | Tipologia | Traccia | Risultato | Difficoltá | Dettaglio |
| 382 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( x^2-2kx+5k-6=0\) con soluzioni reali coincidenti |
k=2; k=3 |
4 |
Vai |
| 383 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( 6x^2+(2k-3)x-k=0\) con soluzioni reali |
|
4 |
Vai |
| 384 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( (k-2)x^2+2(2k-3)x+4k+2=0\) con \( k\neq 2\); Una radice deve essere nulla |
\( k=-\dfrac{1}{2}\) |
4 |
Vai |
| 385 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( (2k-1)x^2+(k-3)x+3k-1=0\) con \( k\neq \dfrac{1}{2}\). Una radice deve essere pari a -2 |
\( k=-\dfrac{1}{9}\) |
5 |
Vai |
| 386 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( (8k-2)x^2-(1-2k)x+2-5k=0\) con \( k\neq \dfrac{1}{4}\); Una soluzione pari a -1 |
k=-1 |
4 |
Vai |
| 387 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( kx^2+(4k+2)x+4k+5=0\) Soluzione con radici opposte \( (x_1=-x_2)\) |
\( k=-\dfrac{1}{2}\) |
4 |
Vai |
| 388 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( 5kx^2-2(k-1)x+\dfrac{1}{5}k=0\), con \( k\neq 0\); Radici opposte |
k=1 non accettabile |
4 |
Vai |
| 389 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( (4k-1)x-4x^2-k^2=0\) con \( s=-\dfrac{5}{4}\) |
k=-1 |
4 |
Vai |
| 391 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( (k-2)x^2-2kx+k-3=0\) con \( k\neq 2);
a. le radici sono reciproche;
b. p=-1;
c. \( p>\dfrac{1}{2}\) |
|
5 |
Vai |
| 392 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( x^2-8x+4m-5=0\)
a. p=-5;
b. p>1;
c. le radici sono concordi |
|
5 |
Vai |
| 393 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( (k-1)x^2-2(k+1)x+k+2=0\), con \( k\neq 1\):
a. la somma delle radici è nulla;
b. la somma dei reciproci delle radici è pari a 8; |
|
5 |
Vai |
| 394 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( kx^2+2(1-k)x-3+k=0\), con \( k\neq 0\):
a. la somma delle radici è -4;
b. la somma dei reciproci delle radici è 3 |
|
5 |
Vai |
| 395 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( x^2-2(k+1)x+4k=0\):
a. la somma dei reciproci delle radici è nulla;
b. la somma dei quadrati delle radici è 12 |
|
5 |
Vai |
| 397 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( (b-3)x^2-2bx+b-1=0\) con \( b\neq 3\):
a. una radice è uguale a \( \dfrac{1}{2}\);
b. le due radici sono reali coincidenti |
|
5 |
Vai |
| 398 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( 3x^2-2(3k+2)x+8k=0\):
a. le soluzioni sono reali e distinte;
b. una radice è uguale a 1 |
|
4 |
Vai |
| 399 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( (9k-2)x^2-(6k+1)x+k=0\), con \( k\neq \dfrac{2}{9}\):
a. una radice è pari a -2;
b. la somma delle radici vale \( \dfrac{1}{3}\). |
|
5 |
Vai |
| 400 |
Risoluzione equazioni parametriche secondo grado |
\( x^2-2(m-1)=0\):
a. le radici sono reciproche;
b. p=0;
c. le radici sono concordi |
|
4 |
Vai |
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