Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    La circonferenza

Fasci di circonferenze

In questa lezione ci occuperemo dello studio di un fascio di circonferenze.

Lezione

Fasci di circonferenze

Siano date due circonferenze di equazioni: \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) e \( x^2+y^2+a'x+b'y+c'=0\). Generando una combinazione lineare tra le due circonferenze si genera un fascio di circonferenze di equazione: \( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+a'x+b'y+c')=0\)

Le due circonferenze sono dette generatrici del fascio.

Se poniamo k=-1, otteniamo l'equazione della retta asse radicale del fascio. L’asse radicale può essere considerato come una particolare circonferenza con un raggio infinitamente grande, ossia come una circonferenza degenere.

Se le due circonferenze generatrici del fascio:

  • si intersecano nei punti A e B, tutte le circonferenze del fascio passano per A e B, che vengono detti punti base del fascio, e l’asse radicale è la retta AB
  • sono tangenti nel punto A, allora tutte le circonferenze del fascio passano per A, che è l’unico punto base, e l’asse radicale è la retta tangente in A alle circonferenze; in questo caso, al fascio appartiene anche la circonferenza degenere di centro A e raggio nullo.
  • non si intersecano e non sono concentriche, non esistono punti comuni alle circonferenze del fascio e l’asse radicale è esterno alle circonferenze
  • sono concentriche, allora tutte le circonferenze del fascio sono concentriche e, dato che a = a', b = b', l’asse radicale non esiste

Per studiare un fascio di circonferenze occorre trovare:

  • centro e raggio in funzione di k
  • le due generatrici
  • gli eventuali punti base
  • l'asse radicale e l'asse centrale
  • eventuali circonferenze degeneri

Una circonferenza degenere può essere una retta (circonferenza di raggio infinitamente grande) oppure un punto (circonferenza di raggio nullo).

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
942 Determina equazione del fascio di circonferenze, asse radicale e centrale \( x^2+y^2-x-y=0\), \( x^2+y^2+4x+2y=0\) 4 Vai
943 Determina equazione del fascio di circonferenze, asse radicale e centrale \( x^2+y^2-2x-3=0\), \( x^2+y^2+8x+7=0\) 4 Vai
944 Determina equazione del fascio di circonferenze, asse radicale e centrale Considera il fascio generato dalle circonferenze di equazioni \( x^2+y^2-4x+2y=0\) e \( x^2+y^2+2x-3=0\) e determina l'equazione:
a. dell'asse radicale;
b. della retta dei centri;
c. della circonferenza passante per il punto P(-1;0)
4 Vai
945 Equazione del fascio e tangenti Due circonferenze di centri \( C_1(2;3)\) e \( C_2\biggl(\dfrac{7}{2};6)\) sono tangenti esternamente. Determina le loro equazioni sapendo che \( \gamma_1\) passa per il punto (0;2). Scrivi poi l'equazione del fascio individuato da \( \gamma_1\) e \( \gamma_2\) e l'equazione della retta tangente comune. 7 Vai
946 Determina equazione del fascio di circonferenze A(-2;1), B(2;1) 3 Vai
947 Determina equazione del fascio di circonferenze Nel fascio di circonferenze passanti per i punti A(-2;-2) e B(2;2) determina la circonferenza:
a. passante per P(1;2);
b. di raggio \( \sqrt{10}\)
6 Vai
948 Determina equazione del fascio di circonferenze Nel fascio di circonferenze passanti per A(-2;1) e B(0;5) determina quelle:
a. aventi raggio minimo;
b. circoscritte al quadrato di lato AB;
c. tangenti all'asse x, indicando il punto di tangenza;
d. aventi centro di ascissa 4
7 Vai
949 Determina equazione del fascio di circonferenze tangenti a retta data T(1;2), y=2x 4 Vai
950 Determina equazione del fascio di circonferenze tangenti a retta data Nel fascio di circonferenze tangenti alla retta di equazione y=2 nel punto di ascissa -1, determina la circonferenza:
a. passante per P(1;-4);
b. con centro di ordinata -5;
c. di raggio uguale a 4
5 Vai
951 Determina equazione del fascio di circonferenze tangenti a retta data Nel fascio di circonferenze tangenti alla retta di equazione y=x+3 nel punto di ascissa nulla, determina la circonferenza:
a. passante per l'origine;
b. con centro di ascissa 4;
c. che stacca sull'asse delle y una corda di lunghezza 3 e non passa per l'origine
5 Vai
952 Studia fascio di circonferenza determinando punti base, asse radicale e centrale \( x^2+y^2+6k-3=0\) Circonferenze concentriche 4 Vai
953 Studia fascio di circonferenza determinando punti base, asse radicale e centrale \( x^2+y^2-(4k+3)y=0\) 3 Vai
954 Studia fascio di circonferenza Studia il fascio di circonferenze di equazione \( x^2+y^2-4x+2ky-2=0\) e calcola per quale valore di k la circonferenza del fascio:
a. passa per l'origine O(0;0);
b. ha raggio uguale a 6;
c. ha il centro sulla retta di equazione x-y=0
4 Vai
955 Studia fascio di circonferenza Considera il fascio di circonferenze di equazione \( x^2+y^2+2x-4y+k=0\) e studia le sue caratteristiche. Trova poi per quali valori di k si ha una circonferenza:
a. degenere;
b. passante per il punto P(-2;1);
c. con raggio uguale a 5;
d. tangente alla retta di equazione 2x+y-1=0
7 Vai
961 Problema di riepilogo fascio di circonferenze Sono dati il punto C(-1;1) e la retta s di equazione 2x+y-4=0.
a. Determina i punti di intersezione della circonferenza di centro C e raggio \( r=\sqrt{10}\) con la retta s e indicali con A e B.
b. Scrivi l'equazione del fascio di circonferenze passanti per A e B.
c. Trova nel fascio l'equazione della circonferenza passante per C.
d. Determina l'equazione della circonferenza passante per A e B e avente raggio uguale a \( \sqrt{50}\)
5 Vai
963 Problema di riepilogo fascio di circonferenze e parabola Scrivi l’equazione della circonferenza con il centro nel punto Q(3; 5) e tangente all’asse x. Determina le intersezioni A e B della circonferenza con l’asse y. Detto C il punto di tangenza della circonferenza con l’asse x, trova l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x passante per A, per B e per C. Sull’arco AB di parabola determina il punto P tale che la somma delle sue distanze dagli assi cartesiani sia uguale a \( \dfrac{13}{3}\) 9 Vai
964 Problema di riepilogo fascio di circonferenze e parabola Considera la parabola avente il punto V(0;4) come vertice e \(F\biggl(0;\dfrac{15}{4}\biggr)\) come fuoco.
a. Trova le equazioni delle due circonferenze con il centro sull'asse y tangenti alla parabola e all'asse x.
b. Determina le coordinate dei punti di contatto tra le due circonferenze e la parabola.
c. Calcola l'area del quadrilatero che ha per vertici i quattro punti appena determinati.
9 Vai

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