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    Luciano Pizzolitto
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    La parabola

Fasci di parabole

In questa lezione ci occuperemo dei fasci di parabole, in particolare delle generatrici e dello studio di un fascio di parabole.

Lezione

Fasci di parabole

Consideriamo le parabole di equazioni: \( y=ax^2+bx+c\) e \(y=a'x^2+b'x+c'\). Scriviamole in forma implicita e combiniamole introducendo il parametro k in modo da generare una combinazione lineare tra le stesse. Otteniamo in questo modo un fascio di parabole

Le due parabole sono dette generatrici del fascio.

Le parabole si intersecano in due punti P e Q. Le coordinate di questi punti soddisfano le equazioni di entrambe le parabole e quindi anche quella di ogni altra parabola del fascio. Per i punti P e Q passano quindi tutte le parabole del fascio. Questi punti sono detti punti base del fascio.

Studio di un fascio di parabole

Elenchiamo i diversi step da seguire per lo studio di un fascio di parabole

Passo 1: Si riscrive in forma implicita l'equazione del fascio e si raccoglie rispetto al parametro k. Le equazioni delle due generatrici si ottengono una per k=0 e l'altra uguagliando a 0 l'espressione che è moltiplicata per k.

Passo 2: Si risolve il sistema delle equazioni delle due generatrici. I punti base possono essere due distinti (parabole secanti), due coincidenti (parabole tangenti), uno (parabole congruenti e con diverso asse di simmetria) o nessuno. Se non ci sono punti base, le parabole non hanno punti in comune e possono essere congruenti e con lo stesso asse di simmetria.

Passo 3: Si studiano le parabole degeneri, rette che passsano necessariamente per gli eventuali punti base. Si uguaglia a 0 il coefficiente di y: la retta o la coppia di rette ottenute sono parallele all'asse y; si uguaglia a 0 il coefficiente di \( x^2\): la retta che si ottiene non è parallela all'asse y.

Trovare l'equazione di un fascio

Per determinare l’equazione di un fascio di parabole dobbiamo scrivere la combinazione lineare delle equazioni di due parabole qualsiasi del fascio (che possono anche essere parabole degeneri), prese come generatrici. Distinguiamo a tal proposito due casi.

Primo caso: fasci di parabole per due punti distinti. Dati due punti distinti \( A(x_A;y_A) e B(x_B;y_B)\) e indicata con y=mx+q l'equazione della retta AB, si può dimostrare che l'equazione \( y=mx+q+k(x-x_A)(x-x_B)\) rappresenta il fascio di parabole passanti per A e B

Secondo caso: fasci di parabole tangenti in un punto a una retta data. Dato il punto \( T(x_T;y_T)\) appartenente alla retta r di equazione y=mx+q, si può dimostrare che l'equazione \( y=mx+q+k(x-x_T)^2\) rappresenta il fascio di parabole tangenti in T alla retta r.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
858 Studia fascio di parabola \( y=(b+1)x^2-bx\) 3 Vai
859 Studia fascio di parabola \( y=kx^2-2x+k\) 4 Vai
860 Studia fascio di parabola \( (a-1)x^2+2y+2x+a+1=0\) 4 Vai
861 Studia fascio di parabola \( kx^2-y+(k-1)x=0\) 4 Vai
862 Studia fascio di parabola \( (k-2)y+kx^2-2x+k=0\) 4 Vai
863 Studia fascio di parabola \( x^2+2(m-2)x-(m+1)y+4-5m=0\) 4 Vai
864 Studia fascio di parabola \( x=(2-k)y^2+2ky+1\) 4 Vai
865 Studia fascio di parabola Nel fascio di parabole con asse parallelo all'asse y, passanti per A(2;3) e B(4;-1), determina la parabola:
a. passante per P(1;8);
b. tangente alla retta di equazione y=6x-7		 5 Vai
866 Studia fascio di parabola Nel fascio di parabole di equazione \( y=kx^2+2x+1-k\), trova:
a. la parabola degenere;
b. i punti base;
c. la parabola passante per l'origine;
d. la parabola tangente alla retta di equazione y=2x-2		 4 Vai
867 Studia fascio di parabola Studia il fascio di parabole di equazione \( y=(k+3)x^2+(k-1)x+2k-1\) e determina per quale valore di k la parabola del fascio:
a. passa per l'origine;
b. ha concavità rivolta verso il basso;
c. ha vertice di ascissa -2		 6 Vai
868 Determina equazione del fascio e punti base Scrivi l'equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni \(y=-2x^2+1\) e \(y=x^2-5x+1\) e determina i punti base \( A(0;1); B\biggl(\dfrac{5}{3};-\dfrac{41}{9}\biggr)\) 5 Vai
869 Determina equazione del fascio e punti base Scrivi l'equazione del fascio generato dalla parabola di equazione \( y=4x^2-x+7\) e dalla retta di equazione x=2. Di che tipo di fascio si tratta? Parabole congruenti, secanti i A(2;21) 4 Vai
870 Studio del fascio di parabole Nel fascio di parabole generato dalle parabole di equazioni \( y=x^2-2x+1\) e \( y=-x^2+4x+1\), determina:
a. l'equazione delle parabole degeneri;
b. l'equazione della parabola passante per il punto P(-1;-2)		 4 Vai
871 Studio del fascio di parabole Nel fascio individuato dalle parabole di equazioni \( y=2x^2+x-1\) e \( y=-x^2+2x\), determina la parabola:
a. avente il fuoco di ascissa \( \dfrac{7}{2}\);
b. passante per il punto P(0;1);
c. avente asse di simmetria di equazione \( x=\dfrac{1}{2}\)		 5 Vai
872 Studio del fascio di parabole Date le parabole di equazioni \( y=x^2+2x\) e \(y=-x^2+1\), scrivi l'equazione del fascio da esse generato e quindi trova la parabola del fascio:
a. passante per il punto P(1;-3);
b. avente vertice di ascissa 1		 4 Vai
873 Determina equazione del fascio di parabole Scrivi l'equazione del fascio di parabole con asse parallelo all'asse y, passanti per A(0;0) e B(1;4) 3 Vai
874 Determina equazione del fascio e parabola passante per origine Scrivi l'equazione del fascio di parabole con asse parallelo all'asse y, passanti per P(2;3) e Q(3;1). Trova la parabola del fascio passante per l'origine \( y=kx^2-(2+5k)x+6k+7; y=-\dfrac{7}{6}x^2+\dfrac{23}{6}x\) 4 Vai
880 Studio del fascio di parabole Studia il fascio di parabole di equazione \( y=2x^2-(4x-8)x+1\) e determina per quali valori di k si ha una parabola che ha:
a. il vertice di ordinata minore di -1;
b. l'asse di simmetria di equazione x=-4;
c. il vertice sulla bisettrice del primo e terzo quadrante;
d. il fuoco di ordinata nulla		 7 Vai

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