Fasci di parabole
Consideriamo le parabole di equazioni: \( y=ax^2+bx+c\) e \(y=a'x^2+b'x+c'\). Scriviamole in forma implicita e combiniamole introducendo il parametro k in modo da generare una combinazione lineare tra le stesse. Otteniamo in questo modo un fascio di parabole
Le due parabole sono dette generatrici del fascio.
Le parabole si intersecano in due punti P e Q. Le coordinate di questi punti soddisfano le equazioni di entrambe le parabole e quindi anche quella di ogni altra parabola del fascio. Per i punti P e Q passano quindi tutte le parabole del fascio. Questi punti sono detti punti base del fascio.
Studio di un fascio di parabole
Elenchiamo i diversi step da seguire per lo studio di un fascio di parabole
Passo 1: Si riscrive in forma implicita l'equazione del fascio e si raccoglie rispetto al parametro k. Le equazioni delle due generatrici si ottengono una per k=0 e l'altra uguagliando a 0 l'espressione che è moltiplicata per k.
Passo 2: Si risolve il sistema delle equazioni delle due generatrici. I punti base possono essere due distinti (parabole secanti), due coincidenti (parabole tangenti), uno (parabole congruenti e con diverso asse di simmetria) o nessuno. Se non ci sono punti base, le parabole non hanno punti in comune e possono essere congruenti e con lo stesso asse di simmetria.
Passo 3: Si studiano le parabole degeneri, rette che passsano necessariamente per gli eventuali punti base. Si uguaglia a 0 il coefficiente di y: la retta o la coppia di rette ottenute sono parallele all'asse y; si uguaglia a 0 il coefficiente di \( x^2\): la retta che si ottiene non è parallela all'asse y.
Trovare l'equazione di un fascio
Per determinare l’equazione di un fascio di parabole dobbiamo scrivere la combinazione lineare delle equazioni di due parabole qualsiasi del fascio (che possono anche essere parabole degeneri), prese come generatrici. Distinguiamo a tal proposito due casi.
Primo caso: fasci di parabole per due punti distinti. Dati due punti distinti \( A(x_A;y_A) e B(x_B;y_B)\) e indicata con y=mx+q l'equazione della retta AB, si può dimostrare che l'equazione \( y=mx+q+k(x-x_A)(x-x_B)\) rappresenta il fascio di parabole passanti per A e B
Secondo caso: fasci di parabole tangenti in un punto a una retta data. Dato il punto \( T(x_T;y_T)\) appartenente alla retta r di equazione y=mx+q, si può dimostrare che l'equazione \( y=mx+q+k(x-x_T)^2\) rappresenta il fascio di parabole tangenti in T alla retta r.