Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    La retta

Fasci di retta

In questa lezione ci occuperemo dei fasci di rette propri ed impropri.

Lezione

Fasci di rette

Fascio improprio

Consideriamo una retta r del piano: l’insieme formato da r e da tutte le rette a essa parallele si chiama fascio improprio di rette parallele a r. Se r, non parallela all’asse y, ha equazione y=mx+q, le altre rette del fascio hanno tutte lo stesso coefficiente angolare m, mentre q varia da retta a retta.

Se r è parallela all’asse y, il fascio di rette ha equazione x=k.

Fascio proprio

L’insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto P si chiama fascio proprio di rette per P. Il punto P comune a tutte le rette del fascio è il centro del fascio.

Il fascio di rette di centro \( P(x_1,y_1)\) ha equazione: \( y-y_1=m(x-x_1)\). Al variare di m si ottengono tutte le rette del fascio passanti per P, tranne la parallela all'asse y che ha equazione \( x=x_1\), che va aggiunta all'insieme delle soluzioni.

Fasci generati da due rette

Un fascio di rette può essere generato anche partendo da due rette, r e s, di cui si conosce l’equazione. Se r e s sono incidenti si ottiene un fascio proprio, se invece sono parallele si ha un fascio improprio. Il fascio si scrive utilizzando la combinazione lineare delle equazioni delle rette. Date le equazioni generatrici del fascio: \( r: ax+by+c=0\) e \( s:a'x+b'y+c'=0\) e definiti due parametri p e q non nulli, ponendo \( k=\dfrac{q}{p}\) otteniamo: \( ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0\)

Si può dimostrare che anche l’equazione di un fascio improprio di rette si può ottenere dalla combinazione lineare delle equazioni di due rette del fascio. Trovate esempi nella video lezione e negli esercizi associati a questa lezione.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
762 Equazione fascio improprio Scrivi l’equazione del fascio improprio contenente la retta di equazione 8x - 4y + 6 = 0 e disegna tre rette del fascio. 4 Vai
763 Equazione fascio improprio Scrivi l’equazione del fascio improprio contenente la retta di equazione 4x-3y+1=0 e disegna tre rette del fascio 4 Vai
764 Equazione fascio improprio Scrivi l'equazione del fascio improprio contenente la retta 2x-5y-10=0 e determina l'equazione della retta del fascio passante per il punto (-4;-1) 2x-5y+3=0 3 Vai
765 Equazione fascio proprio Stabilisci se le rette di equazioni x-2y+6=0, x+4y-6=0 e 3x+2y+2=0 appartengono allo stesso fascio; in caso affermativo, stabilisci quale tipo di fascio. 4 Vai
766 Equazione fascio proprio Scrivi l’equazione del fascio proprio con il centro nel punto (3;-3) e determina l’equazione della retta del fascio:
a. parallela alla retta di equazione x-3y+5=0;
b. perpendicolare alla retta di equazione 6x+3y-4=0;
c. passante per il punto (-2;7)
4 Vai
767 Studio del fascio e determina il centro 2x-2ky+1=0 3 Vai
768 Studio del fascio e determina il centro 3kx-ky-6=0 3 Vai
769 Studio del fascio e determina il centro 2x+y+k-5=0 3 Vai
770 Studio del fascio e parametro Dato il fascio di equazione 2x-(2+2k)y+k+1=0, determina per quale valore di k si ha una retta:
a. passante per il punto (0;-3)
b. parallela alla retta di equazione x-y+1=0;
c. perpendicolare alla retta di equazione y=2x+5
4 Vai
771 Studio del fascio e parametro Dato il fascio di equazione (1-2k)x+(3+k)y+2-k=0, determina l'equazione della retta appartenente al fascio e:
a. parallela all'asse x;
b. parallela all'asse y;
c. passante per l'origine
4 Vai
772 Fascio di rette e parametro Determina l'equazione della retta appartenente al fascio di equazione (1+k)x+(1+k)y+3k-1=0:
a. passante per l'origine;
b. passante per (-2;-5);
c. che interseca l'asse delle ascisse per x=1
a)x+y=0; b) x+y+7=0; c) x+y-1=0 4 Vai
773 Determina la tipologia di fascio Scrivi l'equazione del fascio di rette le cui generatrici hanno equazioni 3x+2y-1=0 e 6x+4y+3=0, stabilisci di che fascio si tratta e determina l'equazione della retta del fascio che interseca l'asse y nel punto di ordinata 1 fascio improprio; 3x+2y-2=0 4 Vai
774 Determina la tipologia e l'equazione del fascio di rette Scrivi l’equazione del fascio generato dalle rette di equazioni 3x+y-1=0 e x+2y+3=0, stabilisci se è proprio o improprio e individua l’equazione della retta del fascio che passa per P(4; 1). 5 Vai
775 Fascio di rette e coefficiente angolare Nel fascio di rette, le cui generatrici hanno equazioni 2x+3y-7=0 e x+4y-1=0, determina la retta di coefficiente angolare m=-4 y=-4x+19 4 Vai
776 Problemi di riepilogo fascio di rette Dato il fascio di rette di equazione (k+1)x+2(k+1)y-2=0:
a. stabilisci se si tratta di un fascio proprio o improprio, individuando l'eventuale centro;
b. determina la retta del fascio passante per A(1;0);
c. determina la retta che, incontrando l'asse x, forma con l'origine un segmento lungo \( \dfrac{1}{3}\).
5 Vai
777 Problemi di riepilogo fascio di rette Dato il fascio di rette di equazione (k-3)x+(2k+2)y+1-3k=0, determina:
a. le equazioni delle generatrici e il centro;
b. le rette del fascio che incontrano l'asse x in un punto A tale che AO=3;
c. il valore di k corrispondente alla retta parallela all'asse x
5 Vai
778 Problemi di riepilogo fascio di rette Studia il fascio di rette di equazione (k+1)x+(2-3k)y-7+3k=0 e determina:
a. le rette parallele agli assi cartesiani
b. la retta del fascio parallela alla retta di equazione y=x-3
c. la retta passante per il punto A(4;1)
d. le rette che hanno distanza dall'origine uguale a \( \dfrac{4}{5}\sqrt{5}\)
a. k=-1; \( k=\dfrac{3}{2}\); b. \( k=\dfrac{1}{4}\); c. \( k=\dfrac{1}{4}\); d. k=1, \( k=-\dfrac{33}{23}\) 5 Vai
779 Problemi di riepilogo fascio di rette Studia il fascio di rette di equazione (k+2)x+(2-k)y+3-k=0 e determina per quali valori del parametro k la retta del fascio:
a. passa per l'origine;
b. è parallela alla retta y=3;
c. è perpendicolare alla retta 2x+3y-4=0;
d. incontra la retta di equazione x+4y-1=0 nel punto di ordinata 1;
e. è parallela alla retta passante per (-1;1) e (2;-1)
a) 3; b) -2; c) 10; d) \(-\dfrac{1}{5}\); e)\(-\dfrac{2}{5}\) 5 Vai
780 Problemi di riepilogo fascio di rette Siano dati i due fasci di rette r: hx-y+3h=0 e s: x-2hy+h=0:
a. Determina la retta comune ai due fasci
b. Scrivi, al variare di h, le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s.
c. Trova il valore di h per cui il punto P coincide con l'origine degli assi
d. Detti A e B i rispettivi centri dei fasci, trova l'area del triangolo ABO
7 Vai

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