Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri complessi

Forma algebrica numeri complessi

In questa lezione parleremo della forma algebrica dei numeri complessi.

Lezione

Forma algebrica dei numeri complessi

Ogni numero complesso (a;b) può essere scritto come somma dei numeri complessi (a;0) e (0;b): (a;b)=(a;0)+(0;b).

Il numero (a;0) è reale mentre il numero (0;b) è immaginario, pertanto ogni numero complesso si può vedere come somma di un numero reale e di un numero immaginario. Ogni numero immaginario può esser visto come prodotto del numero reale (b;0) per l'unità immaginaria cioè: \( (0;b)=(b;0)\cdot (0;1)\). Quindi, poichè (0;1)=i, riscriviamo il numero complesso \( (a;b)=a+bi\).

La forma a+bi è definita forma algebrica del numero complesso (a;b).

Dato il numero complesso z=a+bi, a è la parte reale di z, e la indichiamo come Re(z), mentre b è la parte immaginaria, e la indichiamo con Im(z).

Se b=0, il numero complesso a+bi coincide con il numero reale a, quindi ogni numero reale a può essere visto come il numero complesso a +0i.

Se a=0, il numero complesso a+bi coincide con il numero immaginario bi, quindi ogni numero immaginario bi può esser visto come il numero complesso 0+bi.

L'insieme dei numeri complessi contiene due sottoinsiemi propri:

  • Il sottoinsieme R dei numeri reali
  • Il sottoinsieme I dei numeri immaginari

Confronto tra numeri complessi

Due numeri complessi sono uguali quando hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria.

Modulo di un numero complesso

Il modulo di un numero complesso a+bi è la radice quadrata della somma del quadrato di a e del quadrato di b. Lo indichiamo con |a+bi|. Avremo dunque: \( |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\).

Complessi coniugati e opposti

Due numeri complessi che hanno stessa parte reale e parte immaginaria opposta si definiscono complessi coniugati. Il complesso coniugato di z=a+bi è \( \bar{z}=a-bi\)

Se due numeri complessi hanno opposte sia la parte reale che quella immaginaria si definiscono complessi opposti.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
2028 Calcola somma e prodotto di numeri complessi \( (1;-2); (-1;3)\) 2 Vai
2029 Calcola somma e prodotto di numeri complessi (0;1); (1;0) 2 Vai
2030 Calcola somma e prodotto di numeri complessi \( 1;-1); (-1;1)\) 2 Vai
2031 Determina i valori di k per cui si hanno numeri complessi reali \( \dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{2}i-\dfrac{2}{5}ki\) 3 Vai
2032 Determina i valori di k per cui si hanno numeri complessi reali \( \dfrac{2}{3}-3i+2ki\); \( \dfrac{1}{2}-i+\dfrac{3]{2}ki\) 3 Vai
2033 Determina i valori di k per cui si hanno numeri complessi immaginari \( 8k-\dfrac{16}{3}-\dfrac{3}{2}ki+\dfrac{i}{2}\); \( \dfrac{5}{4}-2k+8ki-\dfrac{5}{2}i\) 3 Vai
2034 Problema numeri complessi Determina per quali valori di a il numero a-1+4ai-i ha:
a. parte reale 3;
b. parte immaginaria 5
a)4; \( b)\dfrac{3}{2}\) 3 Vai
2035 Modulo numeri complessi \( 2i; i-3; 5+12i; 1-3i\) 3 Vai
2036 Modulo numeri complessi x+2+xi, per quali valori di x modulo pari a \( \sqrt{2}\) -1 3 Vai
2037 Complessi coniugati e opposti Dati due numeri complessi \( z_1=2a-1+3bi\) e \( z_2=a+b-ai\), determina a e b in modo che:
a. \( z_1=z_2\);
b. \( z_1=\bar{z_2}\);
c. \( z_1 e z_2\) siano opposti
6 Vai

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