Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Formule goniometriche

Formule addizione e sottrazione

In questa lezione ci occuperemo delle formule di addizione e sottrazione di due angoli, ricavando seno, coseno e tangente.

Lezione

Formule di addizione e sottrazione

Formula di sottrazione del coseno

Consideriamo \( cos(\alpha -\beta)\). Non è vera la relazione:

\( cos(\alpha -\beta)=cos(\alpha)-cos(\beta)\)

Si dimostra attraverso i teoremi fondamentali della goniometria che il valore assunto dalla differenza del coseno è:

\( cos(\alpha -\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sen(\alpha)sen(\beta)\)

Formula di addizione del coseno

Si dimostra che il valore assunto dalla somma del coseno è:

\( cos(\alpha +\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sen(\alpha)sen(\beta)\)

Formula di addizione del seno

Si dimostra che il valore assunto dalla somma del seno è:

\( sen(\alpha +\beta)=sen(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sen(\beta)\)

Formula di sottrazione del seno

Si dimostra che il valore assunto dalla differenza del seno è:

\( sen(\alpha -\beta)=sen(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sen(\beta)\)

Formula di addizione della tangente

Si dimostra che il valore assunto dalla somma della tangente è:

\( tan(\alpha +\beta)=\dfrac{tan(\alpha)+tan(\beta)}{1-tan(\alpha)tan(\beta)}\)

Formula di sottrazione della tangente

Si dimostra che il valore assunto dalla differenza della tangente è:

\( tan(\alpha -\beta)=\dfrac{tan(\alpha)-tan(\beta)}{1+tan(\alpha)tan(\beta)}\)

Funzione lineare y=asen(x)+bcos(x) e angolo aggiunto

Conoscere le formule di addizione e sottrazione ci consente di studiare il grafico della funzione del tipo y=asen(x)+bcos(x), detta funzione lineare in seno e coseno perchè di primo grado rispetto a seno e coseno, riconducendolo a quello di una funzione sinusoidale del tipo \( y=r\cdot sen(x+\alpha)\)

Per fare ciò occorre individuare un angolo \(\alpha\), detto angolo aggiunto e un numero r positivo. Valgono dunque le seguenti relazioni:

\( r=\sqrt{a^2+b^2}\) e \( tan(\alpha)=\dfrac{b}{a}=\dfrac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}\)

Angolo tra due rette

Consideriamo due rette incidenti r ed s nel piano cartesiano, non perpendicolari di equazioni: y=mx+q e y=m'x+q'.

Gli angoli \( \alpha\) e \(\beta\) sono gli angoli che le rette formano con la direzione positiva dell'asse x. Vogliamo trovare l'angolo \( \gamma\) generato dalle due rette. Vale la seguente relazione:

\( tan(\gamma)=\dfrac{tan(\alpha)-tan(\beta)}{1+tan(\alpha)tan(\beta)}=\dfrac{m-m'}{1+mm'}\).

Se consideriamo invece due rette perpendicolari tra loro abbiamo che \( \beta=\alpha + \dfrac{\pi}{2}\), pertanto varrà la seguente relazione: \( tan(\beta)=-\dfrac{1}{tan(\alpha)}\) e dunque \(m_2=-\dfrac{1}{m_1}\). Due rette sono perpendicolari quando i loro coefficienti angolari sono uno l'opposto del reciproco dell'altro.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
1690 Calcola la funzione goniometrica \( cos(105°); sin(165°); tan(\dfrac{5}{12}\pi\) 3 Vai
1691 Semplifica le seguenti espressioni \( sin{\biggl(\dfrac{\pi}{3}+x\biggr)}+cos{\biggl(\dfrac{\pi}{6}+x\biggr)} 0 4 Vai
1692 Semplifica le seguenti espressioni \( sin(45°+\alpha)-sin(135°+\alpha)\) \( \sqrt{2}sin{\alpha}\) 3 Vai
1693 Semplifica le seguenti espressioni \( sin(\alpha +300°)\cdot sin(240°+\alpha)\) 5 Vai
1694 Semplifica le seguenti espressioni \( sin{\biggl(\dfrac{2}{3}\pi-\alpha\biggr)}+sin{\biggl(\alpha+\dfrac{5}{6}\pi\biggr)}-cos{\biggl(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\biggr)}\) 6 Vai
1695 Semplifica le seguenti espressioni \( \dfrac{cos{\biggl(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\biggr)}+cos{\biggl(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\biggr)}}{sin{\biggl(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\biggr)}-sin{\biggl(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\biggr)}\) \( -\sqrt{3}\) 6 Vai
1696 Verifica l'identità \( sin{\biggl(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\biggr)}=cos{\biggl(\dfrac{\pi}{6}-\alpha\biggr)}\) 4 Vai
1697 Verifica l'identità \( sin^2{\biggl(\alpha-\dfrac{3}{4}\pi\biggr)}-sin^2{\biggl(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\biggr)}=cos{\biggl(\dfrac{2}{3}\pi-\alpha\biggr)}+cos{\biggl(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\biggr)}\) 5 Vai
1698 Verifica l'identità \( \dfrac{2sin(\alpha-\beta)}{tan{\alpha}-tan{\beta}}=cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)\) 6 Vai
1699 Calcolo di funzioni goniometriche Dati gli angoli acuti \( \alpha e \beta\), con \( \pi < \alpha<\dfrac{3}{2}\pi\) e \( \dfrac{3}{2}\pi < \beta<2\pi\), sapendo che \( sin{\alpha}=-\dfrac{2}{3}\) e \( cos{\beta}=\dfrac{1}{3}\), calcola \( tan(\alpha+\beta)\). 6 Vai
1700 Calcolo di funzioni goniometriche Dati gli angoli acuti \( \alpha e \beta\), con \( \dfrac{\pi}{2} < \alpha<\pi\) e \( 0 < \beta<\dfrac{\pi}{2}\), sapendo che \( sin{\alpha}=\dfrac{1}{4}\) e \( cos{\beta}=\dfrac{3}{4}\), calcola \( sin(\alpha+\beta)\). 6 Vai
1701 Calcolo di funzioni goniometriche Sapendo che \( cos{\alpha}=\dfrac{3}{5}\) e che \( 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), calcola le seguenti funzioni goniometriche:

\( sin{\biggl(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\biggr)}\); \( tan{\biggl(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\biggr)\);
6 Vai
1702 Calcolo di funzioni goniometriche Sapendo che \( cos{\alpha}=\dfrac{2}{3}\) e che \( 90°<\alpha<180°\), calcola le seguenti funzioni goniometriche: \( sin{\biggl(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\biggr)}\); \( cos{\biggl(\dfrac{2\pi}{3}+\alpha\biggr)\); 6 Vai
1703 Calcolo di funzioni goniometriche \( cos{\biggl(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\biggr)}, sin{\biggl(\dfrac{5}{6}\pi-\alpha\biggr)}, tan{\biggl(\dfrac{5}{4}\pi-\alpha\biggr)}. \( sin{\alpha}=\dfrac{1}{3}\), con \( \dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\). 6 Vai
1704 Calcolo di funzioni goniometriche \( sin(\alpha+\beta), tan(\alpha-\beta), cos(\pi+\alpha-\beta)\), con \( tan{\alpha}=\dfrac{3}{4}, tan{\beta}=-\dfrac{4}{3}, 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi\) 8 Vai
1705 Calcola il valore della seguente espressione \( tan{\biggl(arcsin{\dfrac{3}{5}}-arcsin{\dfrac{1}{2}}\biggr)\) 6 Vai
1706 Calcola il valore della seguente espressione \( sin\biggl(arctan{\dfrac{1}{3}}-\dfrac{\pi}{6}\biggr)\) 6 Vai
1707 Problemi con formule di addizione e sottrazione In un triangolo acutangolo con angoli \( \alpha, \beta, \gamma\) sai che \( sin{\alpha}=\dfrac{12}{13}\) e \( tan{\beta}=\dfrac{3}{4}\). Calcola seno e coseno dell'angolo \( \gamma\). 6 Vai
1708 Funzione lineare e angolo aggiunto \( y=\sqrt{3}sin{x}-cos{x}\) 4 Vai
1709 Funzione lineare e angolo aggiunto \( y=sin(x+60°)+cos(x+60°)\) 6 Vai
1710 Angolo tra due rette Determina l'equazione della circonferenza di centro C(2;0) e passante per A(4;0). Scrivi l'equazione della tangente nel suo punto di ascissa 3 di ordinata positiva e trova l'angolo che essa forma con la direzione positiva dell'asse x. 4 Vai
1711 Calcola la tangente goniometrica dell'angolo compreso tra le rette y=-5x; x-y=2 \( \dfrac{3}[2}\) 3 Vai
1712 Calcola la tangente goniometrica dell'angolo compreso tra le rette Determina le equazioni delle rette che passano per il punto P(-3;1) e che formano un angolo di 45° con la retta di equazione 4x-2y+3=0 y+3x+8=0; 3y-x-6=0 4 Vai
1713 Calcola la tangente goniometrica dell'angolo compreso tra le rette Trova gli angoli del triangolo che ha i lati sulle rette di equazioni:
x-4y+9=0, 4x+y-15=0, 7x+6y-5=0
6 Vai
1714 Calcola la tangente goniometrica dell'angolo compreso tra le rette Determina l'ampiezza dell'angolo formato dalle tangenti alla circonferenza di equazione \( (x-4)^2+y^2=4\) condotte dal punto A(8;4) 6 Vai
1715 Calcola la tangente goniometrica dell'angolo compreso tra le rette Considera i triangoli ABC con \( A\biggl(-\dfrac{5}{3};0\biggr)\), B(4;0) e C variabile sulla retta r di equazione y=-x+9. Verifica che esistono due posizioni di C per cui \( A\widehat{C}B=\dfrac{\pi}{4}\). 8 Vai
1716 Calcola la tangente goniometrica dell'angolo compreso tra le rette Trova le ampiezze degli angoli del triangolo di vertici A(1; 0), \( B(2;2\sqrt{3})\), \(C(7;-\sqrt{3})\) e determina le equazioni delle rette che dividono l’angolo \( B\widehat{A}C\) in tre parti uguali 9 Vai
1717 Calcola la tangente goniometrica dell'angolo compreso tra le rette Considera il fascio di rette di equazione \( (k+2)x+(1-k)y+2k-1=0\), con k reale.
a. Determina l'angolo formato dalle due generatrici
b. Trova per quale valore di k si ottiene la retta del fascio che forma con la bisettrice del primo e terzo quadrante un angolo la cui tangente è \( -\dfrac{1}{3}\).
8 Vai

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