In questa lezione ci occuperemo delle formule di bisezione della metà di un angolo in funzione dell'angolo di partenza.
Lezione
Formule di bisezione
In questa lezione vedremo le formule di bisezione che ci consentono di scrivere le funzioni goniometriche dell'angolo \(\dfrac{\alpha}{2}\) in funzione dell'angolo \(\alpha\). Otteniamo:
\( cos\biggl(\dfrac{\alpha}{2}\biggr)=\pm \sqrt{\dfrac{1+cos(\alpha)}{2}}\) e \( sen(\dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-cos(\alpha)}{2}}\)
Ricaviamo ora la formula della tangente che è valida solo per valori di \( \alpha \neq \pi + 2k\pi\)
Otteniamo: \( tan\biggl(\dfrac{\alpha}{2}\biggr)=\pm \sqrt{\dfrac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}}\). Analogamente possiamo scrivere questa formula in altri due modi: \( tan\biggl(\dfrac{\alpha}{2}\biggr)= \dfrac{sen(\alpha)}{1+cos(\alpha)}\) e \( tan\biggl(\dfrac{\alpha}{2}\biggr)= \dfrac{1-cos(\alpha)}{sen(\alpha)}\)
Esercizi
| # | Tipologia | Traccia | Risultato | Difficoltá | Dettaglio |
| 1739 |
Espressioni con formule di bisezione |
\( cos{\dfrac{\pi}{12}\); \( sin{\dfrac{\pi}{12}\) |
|
4 |
Vai |
| 1740 |
Espressioni con formule di bisezione |
\( \biggl(cos^2{\dfrac{\alpha}{2}}-\dfrac{1}{2}\biggr)\biggl(sin^2{\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\biggr)\) |
|
4 |
Vai |
| 1741 |
Espressioni con formule di bisezione |
\( 2cot{\alpha}\cdot tan{\dfrac{\alpha}{2}}\cdot sec^2{\dfrac{\alpha}{2}\) |
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4 |
Vai |
| 1742 |
Espressioni con formule di bisezione |
\( \biggl(sin{\dfrac{\alpha}{2}}+cos{\dfrac{\alpha}{2}}\biggr)^2-cos^2{\dfrac{\alpha}{2}}+\dfrac{1}{2}cos{\alpha}\) |
|
6 |
Vai |
| 1743 |
Identità con formule di bisezione |
\( sin{\alpha}\cdot tan{\dfrac{\alpha}{2}}=sin^2{\alpha}-2cos{\alpha}\cdot sin^2{\alpha}{2}\) |
|
4 |
Vai |
| 1744 |
Identità con formule di bisezione |
\( \dfrac{sin{\dfrac{\alpha}{2}}cos{\dfrac{\alpha}{2}}}{cos{\alpha}}-sin^2{\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{\tan{\alpha}}{2}-tan{\dfrac{\alpha}{2}}\cdot \dfrac{sin{\alpha}}{2}\) |
|
6 |
Vai |
| 1745 |
Identità con formule di bisezione |
\( \dfrac{cos^2{\dfrac{\alpha}{2}}+3tan{\dfrac{\alpha}{2}}-\dfrac{cos{\alpha}}{1+cos{\alpha}}}{csc{\alpha}+cos{\alpha}cot{\alpha}+6}=\dfrac{1}{2}tan{\dfrac{\alpha}{2}}\) |
|
7 |
Vai |
| 1746 |
Calcola con formule di bisezione |
Seno, coseno e tangente di \( \dfrac{\alpha}{2}\), \( sin{\alpha}=\dfrac{\sqrt{15}}{8}\), con \( \dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) |
|
4 |
Vai |
| 1747 |
Calcola con formule di bisezione |
\( tan{\dfrac{\alpha}{2}}\), \( sin\biggl(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\alpha}{2}\biggr)\), \( sec{\alpha}=-\dfrac{5}{3}\), con \( \dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) |
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6 |
Vai |
| 1748 |
Calcola con formule di bisezione |
\( sin{\alpha}\) e \( tan{\alpha}\). \( cos{2\alpha}=\dfrac{1}{4}\), con \( \dfrac{3}{2}\pi<2\alpha <2\pi\) |
|
7 |
Vai |
| 1749 |
Calcola con formule di bisezione |
\( tan{\dfrac{\alpha-\beta}{2}\). \( cos{\alpha}=\dfrac{5}{13}\), \( sin{\beta}=-\dfrac{3}{5}\), con \( \dfrac{3}{2}\pi<\alpha <2\pi, \pi < \beta < \dfrac{3}{2}\pi\) |
\( \dfrac{7}{9}\) |
6 |
Vai |
| 1750 |
Espressione con formule di bisezione |
\( sin{\biggl(\dfrac{1}{2}arccos{\dfrac{4}{5}}\biggr)\) |
\( \dfrac{\sqrt{10}{10}\) |
6 |
Vai |
| 1751 |
Traccia il grafico della funzione |
\( y=2tan{\dfrac{x}{2}}(1+cos{x})\) |
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3 |
Vai |
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