In questa lezione ci occuperemo della funzione esponenziale e delle sue proprietà.
Lezione
Funzione esponenziale
Si definisce funzione esponenziale ogni funzione del tipo: \( y=a^x\) con a numero reale positivo.
Abbiamo due differenti curve di questa funzione in base al valore della base. Vediamo i due casi:
- Caso 1: a > 1. La curva è crescente e interseca l'asse delle y nel valore 1, ha come dominio l'intero insieme dei numeri Reali, non interseca mai l'asse delle x e si trova interamente nei quadranti aventi ordinata positiva. E' funzione biunivoca. Per esponenti negativi decrescenti, la funzione si avvicina allo 0 senza mai raggiungerlo.

- Caso 2: 0 < a < 1. La curva è decrescente e interseca l'asse delle y nel valore 1, ha come dominio l'intero insieme dei numeri Reali, non interseca mai l'asse delle x e si trova interamente nei quadranti aventi ordinata positiva. E' funzione biunivoca. Per esponenti positivi crescenti, la funzione si avvicina allo 0 senza mai raggiungerlo.

Se a < 0 la funzione non esiste, se a = 1 essa diventa una retta parallela all'asse x, passante per il punto P(0;1).
Le funzioni \( y=a^x\) e \( y=\biggl(\dfrac{1}{a}\biggr)^x\) sono simmetriche rispetto all'asse y.
Funzione esponenziale con base e
Spesso si sente parlare di funzione esponenziale o crescita esponenziale. Si fa riferimento in questi casi ad una particolare base: la base e. Questo è un valore irrazionale, detto numero di Nepero avente valore: \(e=2,71828182...\).
Funzioni del tipo \( y=[f(x)]^{g(x)}\)
La definizione di potenze ad esponente reale può essere estesa anche a funzioni del tipo \( y=[f(x)]^{g(x)}\). Vediamo alcuni casi:
- \( y=[f(x)]^a\) esiste per \( f(x)\geq 0\) se a positivo, per f(x)>0 se a negativo
- \( y=a^{f(x)}\) esiste in tutto il dominio di f(x), se e solo se a è positivo
- \( y=[f(x)]^{g(x)}\) esiste nel dominio di g(x) se e solo se f(x) > 0
Esercizi
# | Tipologia | Traccia | Risultato | Difficoltá | Dettaglio |
1323 |
Scrivere sotto forma di potenza le radici |
\( \sqrt{7}; \sqrt[6]{2^5}; \sqrt[4]{243}; \sqrt[4]{0,25}\) |
|
3 |
Vai |
1324 |
Scrivere sotto forma di potenza le radici |
\( \dfrac{1}{\sqrt{2}}; \sqrt[19]{\dfrac{1}{256}}; \sqrt[7]{\dfrac{1}{125}; \sqrt[4]{3^{-1}};\) |
|
3 |
Vai |
1325 |
Indicare per quali valori rappresentano potenze reali ad esponente reale |
\( (a+4)^{\pi}; \biggl(\dfrac{1}{a}\biggr)^{\sqrt{3}}\) |
|
3 |
Vai |
1326 |
Indicare per quali valori rappresentano potenze reali ad esponente reale |
\( (2a-a^2)^{\sqrt{2}}; (-2a)^{-\sqrt{3}}\) |
|
3 |
Vai |
1327 |
Indicare per quali valori rappresentano potenze reali ad esponente reale |
\( \biggl(\dfrac{1-a}{a}\biggr)^{\sqrt{2}}; (a^2-4a+4)^{-\sqrt{2}}\) |
|
3 |
Vai |
1328 |
Semplifica le seguenti espressioni |
\( 3^{\sqrt{5}}\cdot 3^{\sqrt{20}}\);
\(2^{\sqrt{3}}\cdot 3^{\sqrt{3}}\); |
|
3 |
Vai |
1329 |
Semplifica le seguenti espressioni |
\( 5^{3\sqrt{3}}:5^{\sqrt{3}}\);
\( (3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}\) |
|
3 |
Vai |
1330 |
Semplifica le seguenti espressioni |
\( (5^{4\pi}:5^4)\cdot 5^{\pi}\);
\( [(6^{\sqrt{2}})^2]^2\) |
|
3 |
Vai |
1331 |
Disponi in ordine crescente |
\( -2; -2^{\pi}; \sqrt{2}; 2^{-1}; 2^{\sqrt{2}}\) |
|
3 |
Vai |
1332 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale |
\( y=(a-1)^x\) |
|
2 |
Vai |
1333 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale |
\( y=\biggl(\dfrac{a-2}{3-a}\biggr)^x\) |
|
3 |
Vai |
1334 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale crescente |
\( y=(5-a)^x\) |
|
3 |
Vai |
1335 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale crescente |
\( y=(a^2-3)^x\) |
|
3 |
Vai |
1336 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale decrescente |
\( y=(1-a)^x\) |
0
| 3 |
Vai |
1337 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale decrescente |
\( y=\biggl(-\dfrac{2}{a}\biggr)^x\) |
|
5 |
Vai |
1338 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=2^{\dfrac{x}{x^2-1}}\) |
|
3 |
Vai |
1339 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=3^{\dfrac{x-1}{x^3-4x}}\) |
|
3 |
Vai |
1340 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=\dfrac{5^{\dfrac{1}{x}}{x^2-4}\) |
|
3 |
Vai |
1341 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=(x-2)^{\sqrt{4-x}}\) |
|
3 |
Vai |
1342 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=\biggl(\dfrac{2x}{1-x^2}\biggr)^{\sqrt{x+3}}\) |
|
5 |
Vai |
1343 |
Determina le equazioni delle funzioni ottenute con trasformazione geometrica |
\( y=10^x\); traslazione di vettore v(2;-1) |
|
4 |
Vai |
1344 |
Determina le equazioni delle funzioni ottenute con trasformazione geometrica |
\( y=2^{x-2}\) |
|
3 |
Vai |
1345 |
Rappresenta graficamente la funzione |
\( y=2^{x+2};\)
\( y=2^x+2;\) |
|
4 |
Vai |
1346 |
Rappresenta graficamente la funzione |
\( y=e^{-\sqrt{x+1}}\) |
|
4 |
Vai |
1347 |
Rappresenta graficamente la funzione |
\( y=e^{|x-x^2|}\) |
|
4 |
Vai |
1387 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=\dfrac{1}{\sqrt{9-3^x}}\) |
x<2 |
3 |
Vai |
1388 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=\dfrac{7^x}{\sqrt[3]{8^x-2}}\) |
\( x\neq \dfrac{1}{3}\) |
3 |
Vai |
1389 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=\sqrt{4^{x-1}-2}\) |
\( x\geq \dfrac{3}{2}\) |
4 |
Vai |
1390 |
Determina il dominio delle funzioni, studia il segno |
\( y=\dfrac{5}{6^x+5}\) |
|
4 |
Vai |
1391 |
Determina il dominio delle funzioni, studia il segno |
\( y=\sqrt{9^x-3}\) |
|
4 |
Vai |
Richiedi esercizio
Hai difficoltá con un esercizio riguardante questo argomento? Non perdere tempo e denaro in lunghe lezioni private. Acquista subito il pacchetto GIORNO ed in poche ore riceverai la video spiegazione del tuo esercizio. In piú potrai usufruire per 24 ore di tutte le lezioni e di tutti gli esercizi svolti presenti sul nostro sito.
Se sei cliente Tim, Vodafone o WindTre potrai pagare comodamente con il tuo smartphone. Inserendo il tuo numero telefonico riceverai un sms con un codice ed inserendo quel codice acquisterai il nostro servizio.
Offerte
Puoi avere accesso a tutti i corsi, tutte le lezioni e gli esercizi, ai webinar ed avere due esercizi svolti al mese per un anno a soli 14,99€. Acquista subito questo pacchetto.
Puoi scegliere un periodo temporale inferiore pari ad un solo mese ed avere accesso a tutti i corsi, tutte le lezioni e gli esercizi, ai webinar ed avere due esercizi svolti a richiesta a soli 7,99€. Acquista subito
Puoi acquistare solo questo corso ed avrai accesso illimitato per un anno a soli 6,99€. Acquista subito
Webinar