Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Esponenziali

Funzione esponenziale

In questa lezione ci occuperemo della funzione esponenziale e delle sue proprietà.

Lezione

Funzione esponenziale

Si definisce funzione esponenziale ogni funzione del tipo: \( y=a^x\) con a numero reale positivo.

Abbiamo due differenti curve di questa funzione in base al valore della base. Vediamo i due casi:

  • Caso 1: a > 1. La curva è crescente e interseca l'asse delle y nel valore 1, ha come dominio l'intero insieme dei numeri Reali, non interseca mai l'asse delle x e si trova interamente nei quadranti aventi ordinata positiva. E' funzione biunivoca. Per esponenti negativi decrescenti, la funzione si avvicina allo 0 senza mai raggiungerlo.
  • Caso 2: 0 < a < 1. La curva è decrescente e interseca l'asse delle y nel valore 1, ha come dominio l'intero insieme dei numeri Reali, non interseca mai l'asse delle x e si trova interamente nei quadranti aventi ordinata positiva. E' funzione biunivoca. Per esponenti positivi crescenti, la funzione si avvicina allo 0 senza mai raggiungerlo.

Se a < 0 la funzione non esiste, se a = 1 essa diventa una retta parallela all'asse x, passante per il punto P(0;1).

Le funzioni \( y=a^x\) e \( y=\biggl(\dfrac{1}{a}\biggr)^x\) sono simmetriche rispetto all'asse y.

Funzione esponenziale con base e

Spesso si sente parlare di funzione esponenziale o crescita esponenziale. Si fa riferimento in questi casi ad una particolare base: la base e. Questo è un valore irrazionale, detto numero di Nepero avente valore: \(e=2,71828182...\).

Funzioni del tipo \( y=[f(x)]^{g(x)}\)

La definizione di potenze ad esponente reale può essere estesa anche a funzioni del tipo \( y=[f(x)]^{g(x)}\). Vediamo alcuni casi:

  • \( y=[f(x)]^a\) esiste per \( f(x)\geq 0\) se a positivo, per f(x)>0 se a negativo
  • \( y=a^{f(x)}\) esiste in tutto il dominio di f(x), se e solo se a è positivo
  • \( y=[f(x)]^{g(x)}\) esiste nel dominio di g(x) se e solo se f(x) > 0

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
1323 Scrivere sotto forma di potenza le radici \( \sqrt{7}; \sqrt[6]{2^5}; \sqrt[4]{243}; \sqrt[4]{0,25}\) 3 Vai
1324 Scrivere sotto forma di potenza le radici \( \dfrac{1}{\sqrt{2}}; \sqrt[19]{\dfrac{1}{256}}; \sqrt[7]{\dfrac{1}{125}; \sqrt[4]{3^{-1}};\) 3 Vai
1325 Indicare per quali valori rappresentano potenze reali ad esponente reale \( (a+4)^{\pi}; \biggl(\dfrac{1}{a}\biggr)^{\sqrt{3}}\) 3 Vai
1326 Indicare per quali valori rappresentano potenze reali ad esponente reale \( (2a-a^2)^{\sqrt{2}}; (-2a)^{-\sqrt{3}}\) 3 Vai
1327 Indicare per quali valori rappresentano potenze reali ad esponente reale \( \biggl(\dfrac{1-a}{a}\biggr)^{\sqrt{2}}; (a^2-4a+4)^{-\sqrt{2}}\) 3 Vai
1328 Semplifica le seguenti espressioni \( 3^{\sqrt{5}}\cdot 3^{\sqrt{20}}\);
\(2^{\sqrt{3}}\cdot 3^{\sqrt{3}}\);
3 Vai
1329 Semplifica le seguenti espressioni \( 5^{3\sqrt{3}}:5^{\sqrt{3}}\);
\( (3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}\)
3 Vai
1330 Semplifica le seguenti espressioni \( (5^{4\pi}:5^4)\cdot 5^{\pi}\); \( [(6^{\sqrt{2}})^2]^2\) 3 Vai
1331 Disponi in ordine crescente \( -2; -2^{\pi}; \sqrt{2}; 2^{-1}; 2^{\sqrt{2}}\) 3 Vai
1332 Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale \( y=(a-1)^x\) 2 Vai
1333 Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale \( y=\biggl(\dfrac{a-2}{3-a}\biggr)^x\) 3 Vai
1334 Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale crescente \( y=(5-a)^x\) 3 Vai
1335 Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale crescente \( y=(a^2-3)^x\) 3 Vai
1336 Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale decrescente \( y=(1-a)^x\) 0 3 Vai
1337 Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale decrescente \( y=\biggl(-\dfrac{2}{a}\biggr)^x\) 5 Vai
1338 Determina il dominio delle funzioni \( y=2^{\dfrac{x}{x^2-1}}\) 3 Vai
1339 Determina il dominio delle funzioni \( y=3^{\dfrac{x-1}{x^3-4x}}\) 3 Vai
1340 Determina il dominio delle funzioni \( y=\dfrac{5^{\dfrac{1}{x}}{x^2-4}\) 3 Vai
1341 Determina il dominio delle funzioni \( y=(x-2)^{\sqrt{4-x}}\) 3 Vai
1342 Determina il dominio delle funzioni \( y=\biggl(\dfrac{2x}{1-x^2}\biggr)^{\sqrt{x+3}}\) 5 Vai
1343 Determina le equazioni delle funzioni ottenute con trasformazione geometrica \( y=10^x\); traslazione di vettore v(2;-1) 4 Vai
1344 Determina le equazioni delle funzioni ottenute con trasformazione geometrica \( y=2^{x-2}\) 3 Vai
1345 Rappresenta graficamente la funzione \( y=2^{x+2};\)
\( y=2^x+2;\)
4 Vai
1346 Rappresenta graficamente la funzione \( y=e^{-\sqrt{x+1}}\) 4 Vai
1347 Rappresenta graficamente la funzione \( y=e^{|x-x^2|}\) 4 Vai
1387 Determina il dominio delle funzioni \( y=\dfrac{1}{\sqrt{9-3^x}}\) x<2 3 Vai
1388 Determina il dominio delle funzioni \( y=\dfrac{7^x}{\sqrt[3]{8^x-2}}\) \( x\neq \dfrac{1}{3}\) 3 Vai
1389 Determina il dominio delle funzioni \( y=\sqrt{4^{x-1}-2}\) \( x\geq \dfrac{3}{2}\) 4 Vai
1390 Determina il dominio delle funzioni, studia il segno \( y=\dfrac{5}{6^x+5}\) 4 Vai
1391 Determina il dominio delle funzioni, studia il segno \( y=\sqrt{9^x-3}\) 4 Vai

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