In questa lezione ci occuperemo della funzione esponenziale e delle sue proprietà.
Lezione
Funzione esponenziale
Si definisce funzione esponenziale ogni funzione del tipo: \( y=a^x\) con a numero reale positivo.
Abbiamo due differenti curve di questa funzione in base al valore della base. Vediamo i due casi:
- Caso 1: a > 1. La curva è crescente e interseca l'asse delle y nel valore 1, ha come dominio l'intero insieme dei numeri Reali, non interseca mai l'asse delle x e si trova interamente nei quadranti aventi ordinata positiva. E' funzione biunivoca. Per esponenti negativi decrescenti, la funzione si avvicina allo 0 senza mai raggiungerlo.
- Caso 2: 0 < a < 1. La curva è decrescente e interseca l'asse delle y nel valore 1, ha come dominio l'intero insieme dei numeri Reali, non interseca mai l'asse delle x e si trova interamente nei quadranti aventi ordinata positiva. E' funzione biunivoca. Per esponenti positivi crescenti, la funzione si avvicina allo 0 senza mai raggiungerlo.
Se a < 0 la funzione non esiste, se a = 1 essa diventa una retta parallela all'asse x, passante per il punto P(0;1).
Le funzioni \( y=a^x\) e \( y=\biggl(\dfrac{1}{a}\biggr)^x\) sono simmetriche rispetto all'asse y.
Funzione esponenziale con base e
Spesso si sente parlare di funzione esponenziale o crescita esponenziale. Si fa riferimento in questi casi ad una particolare base: la base e. Questo è un valore irrazionale, detto numero di Nepero avente valore: \(e=2,71828182...\).
Funzioni del tipo \( y=[f(x)]^{g(x)}\)
La definizione di potenze ad esponente reale può essere estesa anche a funzioni del tipo \( y=[f(x)]^{g(x)}\). Vediamo alcuni casi:
- \( y=[f(x)]^a\) esiste per \( f(x)\geq 0\) se a positivo, per f(x)>0 se a negativo
- \( y=a^{f(x)}\) esiste in tutto il dominio di f(x), se e solo se a è positivo
- \( y=[f(x)]^{g(x)}\) esiste nel dominio di g(x) se e solo se f(x) > 0
Esercizi
| # | Tipologia | Traccia | Risultato | Difficoltá | Dettaglio |
| 1323 |
Scrivere sotto forma di potenza le radici |
\( \sqrt{7}; \sqrt[6]{2^5}; \sqrt[4]{243}; \sqrt[4]{0,25}\) |
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3 |
Vai |
| 1324 |
Scrivere sotto forma di potenza le radici |
\( \dfrac{1}{\sqrt{2}}; \sqrt[19]{\dfrac{1}{256}}; \sqrt[7]{\dfrac{1}{125}; \sqrt[4]{3^{-1}};\) |
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3 |
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| 1325 |
Indicare per quali valori rappresentano potenze reali ad esponente reale |
\( (a+4)^{\pi}; \biggl(\dfrac{1}{a}\biggr)^{\sqrt{3}}\) |
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3 |
Vai |
| 1326 |
Indicare per quali valori rappresentano potenze reali ad esponente reale |
\( (2a-a^2)^{\sqrt{2}}; (-2a)^{-\sqrt{3}}\) |
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3 |
Vai |
| 1327 |
Indicare per quali valori rappresentano potenze reali ad esponente reale |
\( \biggl(\dfrac{1-a}{a}\biggr)^{\sqrt{2}}; (a^2-4a+4)^{-\sqrt{2}}\) |
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3 |
Vai |
| 1328 |
Semplifica le seguenti espressioni |
\( 3^{\sqrt{5}}\cdot 3^{\sqrt{20}}\);
\(2^{\sqrt{3}}\cdot 3^{\sqrt{3}}\); |
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3 |
Vai |
| 1329 |
Semplifica le seguenti espressioni |
\( 5^{3\sqrt{3}}:5^{\sqrt{3}}\);
\( (3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}\) |
|
3 |
Vai |
| 1330 |
Semplifica le seguenti espressioni |
\( (5^{4\pi}:5^4)\cdot 5^{\pi}\);
\( [(6^{\sqrt{2}})^2]^2\) |
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3 |
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| 1331 |
Disponi in ordine crescente |
\( -2; -2^{\pi}; \sqrt{2}; 2^{-1}; 2^{\sqrt{2}}\) |
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3 |
Vai |
| 1332 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale |
\( y=(a-1)^x\) |
|
2 |
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| 1333 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale |
\( y=\biggl(\dfrac{a-2}{3-a}\biggr)^x\) |
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3 |
Vai |
| 1334 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale crescente |
\( y=(5-a)^x\) |
|
3 |
Vai |
| 1335 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale crescente |
\( y=(a^2-3)^x\) |
|
3 |
Vai |
| 1336 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale decrescente |
\( y=(1-a)^x\) |
0
| 3 |
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|
| 1337 |
Determina il valore del parametro per ottenere funzione esponenziale decrescente |
\( y=\biggl(-\dfrac{2}{a}\biggr)^x\) |
|
5 |
Vai |
| 1338 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=2^{\dfrac{x}{x^2-1}}\) |
|
3 |
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| 1339 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=3^{\dfrac{x-1}{x^3-4x}}\) |
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3 |
Vai |
| 1340 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=\dfrac{5^{\dfrac{1}{x}}{x^2-4}\) |
|
3 |
Vai |
| 1341 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=(x-2)^{\sqrt{4-x}}\) |
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3 |
Vai |
| 1342 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=\biggl(\dfrac{2x}{1-x^2}\biggr)^{\sqrt{x+3}}\) |
|
5 |
Vai |
| 1343 |
Determina le equazioni delle funzioni ottenute con trasformazione geometrica |
\( y=10^x\); traslazione di vettore v(2;-1) |
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4 |
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| 1344 |
Determina le equazioni delle funzioni ottenute con trasformazione geometrica |
\( y=2^{x-2}\) |
|
3 |
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| 1345 |
Rappresenta graficamente la funzione |
\( y=2^{x+2};\)
\( y=2^x+2;\) |
|
4 |
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| 1346 |
Rappresenta graficamente la funzione |
\( y=e^{-\sqrt{x+1}}\) |
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4 |
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| 1347 |
Rappresenta graficamente la funzione |
\( y=e^{|x-x^2|}\) |
|
4 |
Vai |
| 1387 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=\dfrac{1}{\sqrt{9-3^x}}\) |
x<2 |
3 |
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| 1388 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=\dfrac{7^x}{\sqrt[3]{8^x-2}}\) |
\( x\neq \dfrac{1}{3}\) |
3 |
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| 1389 |
Determina il dominio delle funzioni |
\( y=\sqrt{4^{x-1}-2}\) |
\( x\geq \dfrac{3}{2}\) |
4 |
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| 1390 |
Determina il dominio delle funzioni, studia il segno |
\( y=\dfrac{5}{6^x+5}\) |
|
4 |
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| 1391 |
Determina il dominio delle funzioni, studia il segno |
\( y=\sqrt{9^x-3}\) |
|
4 |
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