Le funzioni polinomiali

Consideriamo il polinomio in x, con \(x\in R : 2x^3 + 3x^2 - 2x - 10\). Se x = 2, il polinomio assume il valore: \(2(2^3) + 3(2^2) - 2(2) - 10 = 16 + 12 - 4 - 10 = 14\).

In generale, sostituendo alla variabile x un qualsiasi numero reale, il polinomio assume uno e un solo valore. A ogni polinomio è quindi associata una funzione che chiamiamo funzione polinomiale. La indichiamo con l’espressione y = P(x). Nel nostro esempio: \(P(x) = x^3 + x^2 - 8x - 12\).

Zeri di una funzione polinomiale

I valori della x per i quali un polinomio P(x) si annulla sono gli zeri del polinomio.

Per una funzione polinomiale y = P(x) gli zeri del polinomio P(x) corrispondono a quei punti della funzione per i quali y = 0. Dal punto di vista grafico, si tratta dei punti di intersezione del grafico della funzione con l’asse delle x, che è l’insieme di tutti i punti con ordinata nulla.

Il principio di identità dei polinomi

Ci sono polinomi che assumono lo stesso valore se attribuiamo particolari valori alle loro variabili. Ci sono poi polinomi che assumono lo stesso valore per qualsiasi valore attribuito alle loro variabili. Li chiamiamo polinomi identici.

• Se due polinomi P e Q, nella variabile x, sono uguali, allora senz’altro le corrispondenti funzioni polinomiali y = P(x) e y = Q(x) assumono lo stesso valore per qualsiasi valore attribuito a x
• Viceversa, si può dimostrare che, se due funzioni polinomiali y = P(x) e y = Q(x) assumono valori uguali per qualsiasi valore di x, cioè sono la stessa funzione, allora i polinomi corrispondenti sono uguali. In sintesi, vale il seguente principio

Principio di identità dei polinomi

Due polinomi P e Q, nella variabile x, sono uguali se e solo se le corrispondenti funzioni polinomiali y = P(x) e y = Q(x) assumono valori uguali per qualsiasi valore attribuito a x.