Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Limiti di funzioni

Insiemi di numeri reali

In questa lezione ci occuperemo degli insiemi di numeri reali introducendo il concetto di limite

Lezione

Insiemi di numeri reali

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde ad una semiretta(intervallo illimitato) o a un segmento(intervallo limitato) della retta reale. Un intervallo può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo.

Intervalli limitati

Possiamo distinguere i seguenti tipi di intervallo:

  • Intervallo chiuso, comprende gli estremi e si identifica come: [a;b] oppure \( a\leq x\leq b\)
  • Intervallo aperto, con estremi esclusi e si identifica come: ]a;b[ oppure \( a
  • Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra, con estremo di sinistra incluso ed estremo di destra escluso e si identifica come: [a;b[ oppure \( a\leq x
  • Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra, con estremo di sinistra escluso ed estremo di destra incluso e si identifica come: ]a;b] oppure \( a

Gli intervalli limitati corrispondono a segmenti della retta reale aventi estremi a e b e lunghezza b-a, che viene detta ampiezza dell'intervallo. I valori \( \dfrac{b-a}{2}\) e \( \dfrac{b+a}{2}\) sono rispettivamente il raggio e il centro dell'intervallo.

Intervalli illimitati

Possiamo distinguere i seguenti tipi di intervallo:

  • Intervallo chiuso illimitato superiormente, con estremo di destra finito e si identifica come: \( [a;+\inf[\), \( x\geq a\)
  • Intervallo aperto illimitato superiormente, con estremo di destra finito non compreso e si identifica come: \( ]a;+\inf[\), \( x>a\)
  • Intervallo chiuso illimitato inferiormente, con estremo di sinistra e si identifica come: \( ]-\inf;a]\), \( x\leq a\)
  • Intervallo aperto illimitato inferiormente, con estremo di sinistra non compreso e si identifica come: \( ]-\inf;a[\), \( x

Un intervallo illimitato corrisponde a una semiretta di origine a: pertanto uno degli estremi dell'intervallo è a, mentre indichiamo l'altro estremo con \( +\inf\) (più infinito) e \( -\inf\) (meno infinito).

Intorni di un punto

Dato un numero reale \( x_0\), un intorno completo di \(x_0\) è un qualunque intervallo aperto \( I(x_0)\) contenente \( x_0\): \( I(x_0)=]x_0-\delta_1; x_0+\delta_2[\), con \( \delta_1\), \(\delta_2\) numeri reali positivi

Dato un numero reale \( x_0\) e un numero reale positivo \( \delta\), un intorno circolare di \(x_0\), di raggio \( \delta\), è l'intervallo aperto \( I_{\delta}(x_0)\) di centro \( x_0\) e raggio \(\delta\): \( I_{\delta}(x_0)=]x_0-\delta; x_0+\delta[\).

L'intersezione e l'unione di due o più intorni completi, e in particolare circolari, di \(x_0\) sono ancora degli intorni completi, e in particolare circolari, di \(x_0\).

Intorno destro e sinistro di un punto

Dato un numero \( \delta\) positivo definiamo:

  • Intorno destro di \(x_0\) l'intervallo \( I^{+}_{\delta}(x_0)=]x_0;x_0+\delta[\)
  • Intorno sinistro di \(x_0\) l'intervallo \( I^{-}_{\delta}(x_0)=]x_0-\delta;x_0[\)

Intorni di infinito

Dati a e b numeri reali, con a

  • intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente: \( I(-\inf)=]-\inf;a[=x\in R:x
  • intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente: \( I(+\inf)=]b;+\inf[=x\in R:x>b\)
  • Insiemi limitati e illimitati

    Esistono insiemi numerici che non sono intervalli. La proprietà di essere limitato o illimitato non è attribuibile solo agli intervalli, ma anche a un qualunque insieme numerico. Un insieme numerico F incluso in R è detto:

    • superiormente limitato se è possibile determinare un numero reale \(\alpha\), non necessariamente appartenente a F, tale che \( x\leq \alpha\), \( \forall x\in F\); il numero \(\alpha\) è detto un maggiorante di F
    • inferiormente limitato se è possibile determinare un numero reale \( \beta\), non necessariamente appartenente a F, tale che \( x\geq \beta\), \( \forall x\in F\); il numero \(\beta\) è detto un minorante di F
    • limitato se è limitato sia superiormente sia inferiormente, cioè se esiste un intervallo limitato che lo contiene. In modo equivalente possiamo dire che F è limitato se esiste un numero reale positivo k tale che \( |x|\leq k \forall x\in F\)

    Definiamo i seguenti insiemi:

    • illimitato superiormente se, scelto ad arbitrio un numero reale m, è possibile trovare qualche elemento di F maggiore di m, tale che x > m
    • illimitato inferiormente se, scelto ad arbitrio un numero reale m, è possibile trovare qualche elemento di F minore di m, tale che x < m.
    • illimitato se è illimitato superiormente o inferiormente

    Dato un insieme E incluso R superiormente limitato, l'estremo superiore di E è quel numero reale M tale che:

    • \(x\leq M, \forall x\in E\)
    • \( \forall \epsilon >0, \exists x\in E\) tale che \( x > (M-\epsilon)\)

    Dato un insieme E incluso R superiormente limitato, l'estremo inferiore di E è quel numero reale L tale che:

    • \(x\geq L, \forall x\in E\)
    • \( \forall \epsilon >0, \exists x\in E\) tale che \( x < (L+\epsilon)\)

    Esistenza e unicità degli estremi superiore o inferiore

    L'estremo superiore di un insieme E incluso in R non vuoto e superiormente limitato esiste sempre ed è unico. L'estremo inferiore di un insieme E incluso in R non vuoto e inferiormente limitato esiste sempre ed è unico.

    Punti isolati

    Sia \( x_0\) appartenente a un sottoinsieme A di R. \( x_0\) è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I di \( x_0\) che non contiene altri elementi di A diversi da \( x_0\).

    Punti di accumulazione

    Il numero reale \( x_0\) è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di R, se ogni intorno completo di \(x_0\), contiene infiniti punti di A

    Esercizi

    #TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
    2302 Rappresenta con notazione gli intervalli a. \( {x\in R: -5\leq x < 2}\)
    b. \( R-{8}\)
    c. \( {x\in R: \dfrac{1}{x-2}>0}\)
    d. \( {x\in R: x^2-7x\leq 0\)
    3 Vai
    2303 Problema con intervalli L'insieme \( I={x\in R: x^2<9}\) è un intervallo limitato? E' chiuso? 3 Vai
    2304 Determina il dominio e stabilisci se esso è limitato a. \( y=1+\sqrt{x^2-1}\)
    b. \( y=\dfrac{1}{x^2-4x-5}\)
    c. \( y=\dfrac{1}{\sqrt{ln(x)}}\)
    3 Vai
    2305 Determina il dominio e stabilisci se esso è limitato a. \( y=\dfrac{2}{x^2+8}\);
    b. \( y=\dfrac{1}{x^3+8}\);
    c. \( y=e^{\sqrt{x-2}}\)
    4 Vai
    2306 Determina se si tratta di intorno e di intorno circolare \( x_0=2;\) ]3;8[; ]-3;8[; ]1:3[ 3 Vai
    2307 Scrivere un intorno qualsiasi e uno circolare \( x_0=1\) e \( \delta=2\) 2 Vai
    2308 Dei seguenti intorni trova centro e ampiezza ]-1;2[;
    ]4;9[;
    ]4,3;4,6[;
    ]-8;-3[;
    3 Vai
    2309 Determina se trattasi di intorno destro, sinistro o completo \( x_0=\dfrac{1}{2}\)
    \( \biggr]0;\dfrac{1}{2}\biggl[\)
    \( ]0;1[\)
    \( \biggr]\dfrac{1}{2};\dfrac{9}{2}\biggl[\)
    \( ]-2;3[\)
    2 Vai
    2310 Determina se trattasi di intorno di più infinito, meno infinito o infinito \( ]-3;+\inf[\)
    \( ]2;+\inf[\)
    \( ]-\inf; -1[\)
    2 Vai
    2311 Determina se trattasi di intorno di più infinito, meno infinito o infinito 8-x<0 2 Vai
    2312 Verifica gli estremi inferiori e superiori e determina se sono massimo o minimo \( E={x: x=\dfrac{1}{n^2}, n\in N-{0}}\), 0,1 5 Vai
    2313 Verifica se la funzione è illimitata superiormente \( A={x : x=n^2, n\in N}\), \( +\inf\) 5 Vai
    2314 Determina estremi e massimo e minimo A=]1;3[;
    \( B=]-\inf, 1];\)
    \( C={1} \cup {x\in R: x\geq 2}\)
    4 Vai

    Richiedi esercizio

    Hai difficoltá con un esercizio riguardante questo argomento? Non perdere tempo e denaro in lunghe lezioni private. Acquista subito il pacchetto GIORNO ed in poche ore riceverai la video spiegazione del tuo esercizio. In piú potrai usufruire per 24 ore di tutte le lezioni e di tutti gli esercizi svolti presenti sul nostro sito.

    Se sei cliente Tim, Vodafone o WindTre potrai pagare comodamente con il tuo smartphone. Inserendo il tuo numero telefonico riceverai un sms con un codice ed inserendo quel codice acquisterai il nostro servizio.

    Acquista subito

    Offerte

    Puoi avere accesso a tutti i corsi, tutte le lezioni e gli esercizi, ai webinar ed avere due esercizi svolti al mese per un anno a soli 14,99€. Acquista subito questo pacchetto.

    Puoi scegliere un periodo temporale inferiore pari ad un solo mese ed avere accesso a tutti i corsi, tutte le lezioni e gli esercizi, ai webinar ed avere due esercizi svolti a richiesta a soli 7,99€. Acquista subito

    Puoi acquistare solo questo corso ed avrai accesso illimitato per un anno a soli 6,99€. Acquista subito

    Webinar

    Prova subito i nostri corsi gratuitamente

    Il tuo carrello

    Nome pacchetto Durata Totale
    Prova Gratuita 2 giorni € 0.00
    Totale € 0.00