Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    L'iperbole

Iperbole

In questa lezione parleremo dell'equazione dell'iperbole, con relativi fuochi, vertici, assi e asintoti.

Lezione

Iperbole

Assegnati nel piano due punti \( F_1\) e \(F_2\), si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti P del piano che hanno costante la differenza delle distanze da \( F_1\) e da \( F_2\): \( |PF_1 - PF_2|=k\).

\( F_1\) e \(F_2\) sono i fuochi dell'iperbole. Il punto medio del segmento che congiunge i fuochi è il centro dell'iperbole. La distanza tra i fuochi si indica con 2c ed è detta distanza focale. La differenza costante tra le distanze di ognuno dei punti dell'iperbole dai fuochi è pari a 2a.

I valori a e c sono costanti e positivi e vale sempre la relazione: a < c

Equazione dell'iperbole con i fuochi su x

Consideriamo un'iperbole con centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse x.

Le coordinate dei fuochi sono: \( F_1(-c;0)\) e \( F_2(c;0)\). L'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse x è:

\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)

Vale la relazione \( c^2 - a^2 = b^2\)

Equazione dell'iperbole con i fuochi su y

Consideriamo un'iperbole con centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse y.

Le coordinate dei fuochi sono: \( F_1(0;-c)\) e \( F_2(0;c)\). L'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse y è:

\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1\)

Vale la relazione \( c^2 - b^2 = a^2\)

L'iperbole è una curva simmetrica rispetto all'asse x, all'asse y e all'origine

Per calcolare i vertici di un'iperbole con fuochi su asse x, mettiamo a sistema l'equazione dell'iperbole con quella dell'asse x. I vertici reali dell'iperbole hanno coordinate \( A_1(-a;0)\) e \(A_2(a;0)\). Il segmento che li unisce è detto asse trasverso, su cui giacciono i fuochi. Il valore a è la misura della lunghezza del semiasse trasverso.

Per determinare le intersezioni con l'asse y occorre mettere a sistema l'equazione dell'iperbole con quella dell'asse y. Non ci sono intersezioni con l'asse y. E' utile però disegnare i vertici non reali di coordinate \( B_1(0;-b)\) e \(B_2(0;b)\) che giacciono sull'asse non trasverso ad una distanza tra loro pari a 2b.

Se l'iperbole ha i fuochi sull'asse y, l'asse y è l'asse trasverso e i vertici reali hanno coordinate \( B_1(0;-b)\) e \(B_2(0;b)\), mentre l'asse x è l'asse non trasverso e i vertici non reali hanno coordinate \( A_1(-a;0)\) e \(A_2(a;0)\).

Disegnato il rettangolo passante per i quattro vertici con lati paralleli agli assi cartesiani, le rette passanti per le diagonali dei rettangoli sono definite asintoti aventi equazioni: \( y=\dfrac{b}{a}x\) e \( y=-\dfrac{b}{a}x\).

Data l'equazione di un'iperbole, con fuochi sull'asse x, le coordinate degli stessi sono:

\( F_1(-\sqrt{a^2+b^2};0)\), \( F_2(\sqrt{a^2+b^2};0)\)

Se l'iperbole ha fuochi sull'asse y, le coordinate sono:

\( F_1(0;-\sqrt{a^2+b^2})\), \( F_2(0;\sqrt{a^2+b^2})\)

Eccentricità

L'eccentricità di un'iperbole è il rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso:

\( e=\dfrac{distanza focale}{lunghezza asse trasverso}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\)

Poichè c > a > 0, si ha che e > 1.

Se l'iperbole ha i fuochi sull'asse y con lunghezza dell'asse trasverso pari a 2b l'eccentricità è:

\( e=\dfrac{distanza focale}{lunghezza asse trasverso}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}\)

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
1190 Luogo geometrico iperbole Determina l'equazione dell'iperbole come luogo geometrico dei punti per i quali la differenza delle distanze dai punti A e B ha il valore assegnato.
A(-4;0), B(4;0); 6
4 Vai
1191 Luogo geometrico iperbole Determina l'equazione dell'iperbole come luogo geometrico dei punti per i quali la differenza delle distanze dai punti A e B ha il valore assegnato. A(0;-3), B(0;3); 4 3 Vai
1192 Riconosci equazioni iperbole \(a. \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=2\)
\(b. 6x^2-y^2+1=0\)
\(c. 9x^2-y^2=1\)
3 Vai
1193 Riconosci equazioni iperbole \( a. y^2=3-x^2\)
\( b. 7x^2=y^2+2\)
\( c. 4x^2=y^2-4\)
4 Vai
1194 Riconosci equazioni iperbole \( a. x^2-4y^2=-4\)
\( b. \dfrac{x^2}{6}-\dfrac{8}{9}y^2=1\)
\( c. y^2=x^2+8\)
3 Vai
1195 Determina misura semiasse, vertici, fuochi, asintoti, eccentricità \( 25x^2-y^2=-25\) 4 Vai
1196 Determina misura semiasse, vertici, fuochi, asintoti, eccentricità \( x^2=9+9y^2\) 4 Vai
1197 Determina misura semiasse, vertici, fuochi, asintoti, eccentricità \( x^2-y^2=-9\) 4 Vai
1198 Determina misura semiasse, vertici, fuochi, asintoti, eccentricità \( \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=-1\) 4 Vai
1199 Determina equazione iperbole a. a=2, b=4
b. a=1, c=2

a=misura semiasse
b=misura semiasse
c=semidistanza focale
e=eccentricità
4 Vai
1200 Determina equazione iperbole fuochi asse y a. a=1, b=3
b. a=2, c=5

a=misura semiasse
b=misura semiasse
c=semidistanza focale
e=eccentricità
4 Vai
1201 Determina equazione iperbole fuochi asse x Scrivi l'equazione di un'iperbole con i fuochi sull'asse x, asse trasverso che misura 6 e distanza focale pari a 8 4 Vai
1202 Iperbole e parametro Trova per quali valori di k il punto P(2k;-5) appartiene all'iperbole di equazione \( \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=-1\) 3 Vai
1203 Iperbole e parametro Per quali valori l'equazione rappresenta un'iperbole con fuochi su asse x:
\( \dfrac{x^2}{2k+6}+\dfrac{y^2}{2k}=1\)
5 Vai
1204 Iperbole e parametro Per quali valori l'equazione rappresenta un'iperbole con fuochi su asse x:
\( (k+1)x^2+y^2=2k\)
4 Vai
1205 Iperbole e parametro Per quali valori di k l'espressione \( \dfrac{8-k}{3k}\) può rappresentare l'eccentricità di un'iperbole? 0 < k < 2 4 Vai
1206 Iperbole e parametro Determina i valori di k affinché l'equazione \( \dfrac{x^2}{2k-1}+\dfrac{y^2}{k^2-4}=1\) rappresenti:
a. un'iperbole;
b. un'iperbole con i fuochi sull'asse x;
c. un'iperbole che passa per il punto di coordinate \( (0;-\sqrt{5})\);
d. un'iperbole con un fuoco di coordinate (2;0)
4 Vai
1207 Iperbole e parametro Trova per quali valori di k l'equazione \( \dfrac{x^2}{k-2}+\dfrac{y^2}{6k}=1\) rappresenta:
a. un'iperbole;
b. un'iperbole con i fuochi sull'asse x;
c. un'iperbole con i fuochi sull'asse y;
d. un'iperbole con gli asintoti di equazione \( y=\pm \sqrt{6}x\)
5 Vai
1208 Rappresenta graficamente la funzione \( y=-\sqrt{x^2+1}\) 4 Vai
1209 Rappresenta graficamente la funzione \( y=-\sqrt{x^2-16}\) 4 Vai
1210 Rappresenta graficamente la funzione \( x=\sqrt{9+y^2}\) 4 Vai

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