Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    L'iperbole

Iperbole equilatera

In questa lezione ci occuperemo dell'iperbole equilatera e della funzione omografica.

Lezione

Iperbole equilatera

Se nell'equazione canonica a=b, l'iperbole si dice equilatera. Se i fuochi sono sull'asse x, l'equazione dell'iperbole equilatera è: \( x^2-y^2=a^2\), mentre se si trovano sull'asse y, l'equazione diventa: \( x^2-y^2=-a^2\).

Le equazioni degli asintoti sono le bisettrici di primo e terzo quadrante e di secondo e quarto ed hanno equazioni: y=x e y=-x

Il rettangolo passante per i quattro vertici dell'iperbole è un quadrato poichè a=b. L'eccentricità è: \( e=\sqrt{2}\).

Iperbole riferita agli asintoti

Se ipotizziamo di prendere come assi di simmetria le bisettrici di primo e terzo quadrata e di secondo e quarto, perpendicolari tra loro notiamo che l'equazione dell'iperbole che ne deriva è: \( xy=k\), con k costante positiva o negativa. Esiste dunque proporzionalità inversa tra x ed y poichè \( y=\dfrac{k}{x}\).

A seconda del valore di k variano le coordinate dei vertici reali e dei fuochi.

  • Se k > 0 avremo: \(A_1(-\sqrt{k};-\sqrt{k})\) e \(A_2(\sqrt{k};\sqrt{k})\) e \(F_1(-\sqrt{2k};-\sqrt{2k})\) e \(F_2(\sqrt{2k};\sqrt{2k})\)
  • Se k < 0 avremo: \(A_1(-\sqrt{-k};-\sqrt{-k})\) e \(A_2(\sqrt{-k};\sqrt{-k})\) e \(F_1(-\sqrt{-2k};-\sqrt{-2k})\) e \(A_2(\sqrt{-2k};\sqrt{-2k})\)
La misura del semiasse trasverso è \( a=\sqrt{2|k|}\), mentre la semidistanza focale è \( c=2\sqrt{|k|}\).

Funzione omografica

Un'iperbole equilatera che ha asintoti paralleli agli assi cartesiani ha un'equazione del tipo: \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), è detta funzione omografica. Le equazioni degli asintoti sono: \( x=-\dfrac{d}{c}\) e \( y=\dfrac{a}{c}\). Le coordinate del centro di simmetria sono: \( C\biggl(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}\biggr)\).

Affinchè l'equazione della funzione omografica rappresenti un'iperbole occorre che \( c\neq 0\) e \( ad-bc\neq 0\). Se una di queste due condizione non è soddisfatta, l'equazione omografica rappresenta una retta.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
1243 Rappresenta iperbole equilatera Indica per quale valore di k l'equazione \( \dfrac{x^2}{2k-1}-\dfrac{y^2}{4+k}=1\) rappresenta un'iperbole equilatera 5 3 Vai
1244 Determina equazione iperbole equilatera Un fuoco in \( (2\sqrt{6};0)\) \( x^2-y^2=12\) 4 Vai
1245 Rappresenta iperbole equilatera riferita agli asintoti xy=36;
xy=-12
4 Vai
1246 Rappresenta iperbole equilatera riferita agli asintoti xy=4;
xy=-9
4 Vai
1247 Individua iperbole equilatera \( a. x^2-4y^2+4=0\)
\( b. xy+6=0\)
\( c. x=\dfrac{y}{2}\)
\( d. x^2=y^2+4\)
4 Vai
1248 Iperbole equilatera passante per un punto Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera, riferita agli asintoti, passante per (-2;-8),e, dopo aver calcolato le coordinate dei suoi vertici, rappresentala graficamente 4 Vai
1249 Iperbole equilatera noto vertice Un'iperbole equilatera, riferita ai propri asintoti, ha un vertice nel punto A(6;-6). Determina la sua equazione e rappresentala graficamente xy=-36 4 Vai
1250 Grafico funzione omografica \( y=\dfrac{x+4}{x-3}\) 4 Vai
1251 Grafico funzione omografica \( y=\dfrac{5}{3x+15}\) 4 Vai
1252 Grafico funzione omografica \( y=\dfrac{-1}{x-3}\) 4 Vai
1253 Grafico funzione omografica \( y=\dfrac{2|x|+6}{x-4}\) 5 Vai
1254 Funzione omografica e parametri Determina per quali valori di a e b l'iperbole di equazione \( y=\dfrac{ax-3}{bx+1}\) ha centro nel punto C(-1;4) a=4; b=1 4 Vai
1255 Funzione omografica e parametri Determina i valori di c per cui l'equazione \( y=\dfrac{3x+5}{cx-2}\) definisce:
a. un'iperbole;
b. un'iperbole con un asintoto di equazione \( x=\dfrac{1}{2}\)
4 Vai
1256 Funzione omografica dati due punti e asintoto Determina l'equazione della funzione omografica il cui grafico passa per A(2;1), B(-1;4) e ha un asintoto di equazione \( y=\dfrac{1}{2}\), e rappresentala graficamente \( y=\dfrac{x+5}{2x+3}\) 4 Vai
1257 Funzione omografica e parametro Per quale valore di k l'iperbole \( y=\dfrac{2x+k}{2x+6}\) passa per il punto \( P\biggl(1;-\dfrac{3}{8}\biggr)\)? Quali sono le equazioni dei suoi asintoti? Determina l'equazione della tangente nel punto di intersezione dell'iperbole con l'asse y. Calcola poi l'area del triangolo individuato dalla tangente e dagli asintoti. 7 Vai
1258 Funzione omografica e tangente Studia la curva di equazione \( y=\dfrac{-3x+4}{x-2}\) ed esegui una traslazione in modo tale che i suoi asintoti coincidano con gli assi cartesiani. Trova poi quali punti della curva trasformata hanno per tangente una retta di coefficiente angolare 2. 6 Vai
1259 Fasci di funzioni omografiche Trova per quale valore di a l'equazione \( y=\dfrac{2ax+1}{(a-6)x-4}\) rappresenta un'iperbole equilatera. 4 Vai
1260 Fasci di funzioni omografiche Studia il fascio di funzioni omografiche \( y=\dfrac{ax+1}{(a-2)x+3}\) al variare di a numero reale 5 Vai
1261 Fasci di funzioni omografiche Data l'equazione \( y=\dfrac{a-3}{(a+1)x-2}\), studia il fascio di curve da essa rappresentato al variare di a, numero reale, e trova gli eventuali punti comuni a tutte le curve del fascio 7 Vai

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