Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Limiti di funzioni

Limite finito per x che tende a valore finito

In questa lezione ci occuperemo del calcolo del limite finito per x che tende ad un valore finito

Lezione

Limite finito per x che tende a valore finito

La funzione f(x) ha per limite il numero reale l, per x che tende a \( x_0\), quando, comunque si scelga un numero reale positivo \( \epsilon\), si può determinare un intorno completo di I di \( x_0\) tale che: \( |f(x)-l|<\epsilon\) per ogni x appartenente a I, diverso al più da \( x_0\). Si scrive \( \lim_{x\to x_0}f(x)=l\).

La validità della condizione \(|f(x)-l|<\epsilon\) presuppone che f(x) sia definita in tutti i punti dell'intorno \( I(x_0)\)(escluso al più \(x_0\)). Il punto \(x_0\) è di accumulazione per il dominio della funzione. Non interessa il valore che la funzione f(x) assume eventualmente in \( x_0\).

Si può scrivere dunque: \( \lim_{x\to x_0\)=l\) se \( \forall \epsilon > 0 \exists I(x_0) : |f(x)-l|<\epsilon, \forall x\in I(x_0), x\neq x_0\).

Funzioni continue

Una funzione può ammettere limite l in un punto \(x_0\), anche se in \( x_0\) non è definita. Quando invece \( x_0\) appartiene al dominio di f, possiamo considerare la sua immagina \( f(x_0)\). Se essa coincide con il limite di f(x) per x che tende a \( x_0\), allora si dice che f è continua in \( x_0\).

Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e \( x_0\) un punto interno all'intervallo. La funzione f(x) è continua nel punto \( x_0\), quando esiste il limite di f(x) per \( x\to x_0\), e tale limite è uguale al valore \( f(x_0)\) della funzione considerata in \( x_0\): \( \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)

Diciamo poi che f è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni punto di D. Sono funzioni continue nel loro dominio quelle il cui grafico è una curva senza interruzioni; è il caso di una retta o di una parabola. Se una funzione è continua in un dato punto, il calcolo del limite è semplice. Consideriamo la funzione f(x)=3x. Il \( \lim_{x\to 7}3x=21\).

Analisi principali funzioni

Funzione costante: la funzione è continua in tutto R. Il \( \lim_{x\to x_0}k=k\).

Funzione polinomiale: la funzione è continua in tutto R. Esempio: \( \lim_{x\to 1}x^2+2x=3\).

Funzione radice quadrata: la funzione è continua per valori positivi o nulli. Esempio: \( \lim_{x\to 1}\sqrt{x}=\sqrt{1}=1\).

Funzione goniometrica: le funzioni seno e coseno sono continue in tutto R. Anche la funzione tangente è continua in R escluso \( \dfrac{\pi}{2}+k\pi\). La funzione cotangente è continua in R escluso \( \pi+k\pi\). Esempio: \( \lim_{x\to 1}x^2+2x=3\).

Funzione esponenziale: la funzione è continua in tutto R. Esempio: \( \lim_{x\to 1}3^x=3^1=3\).

Funzione logaritmica: la funzione è continua in tutto R positivo. Esempio: \( \lim_{x\to 8}log_{2}x=3\).

Limite per eccesso e difetto

Diciamo che f(x) tende a l per eccesso e scriviamo: \( \lim_{x\to x_0\}f(x)=l^{+}\). Se f(x) è una funzione con limite finito l per x che tende a \(x_0\) e assume sempre valori maggiori di l in un intorno di \( x_0\), con al più \( x\neq x_0\).

Diciamo che f(x) tende a l per difetto e scriviamo: \( \lim_{x\to x_0\}f(x)=l^{-}\). Se f(x) è una funzione con limite finito l per x che tende a \(x_0\) e assume sempre valori minori di l in un intorno di \( x_0\), con al più \( x\neq x_0\).

Limite destro e sinistro

Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo: \( \lim_{x\to x_0^{+}}f(x)=l\). Si legge "x tende a \( x_0\) da destra". Significa che x si avvicina a \( x_0\) restando però sempre maggiore di \( x_0\).

La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza \( |f(x)-l|<\epsilon\) deve esser verificata per ogni x appartenente a un intorno destro di \( x_0\), ossia a un intorno del tipo \( ]x_0; x_0+\delta[\).

Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo: \( \lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=l\). Si legge "x tende a \( x_0\) da sinistra". Significa che x si avvicina a \( x_0\) restando però sempre minore di \( x_0\).

La definizione del limite sinistro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza \( |f(x)-l|<\epsilon\) deve esser verificata per ogni x appartenente a un intorno sinistro di \( x_0\), ossia a un intorno del tipo \( ]x_0-\delta;x_0[\).

Il limite \( \lim_{x\to x_0}f(x)=l\) esiste se e solo se esistono entrambi i limiti destro e sinistro e coincidono: \( \lim_{x\to x_0}f(x)=l <-> \lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=l <-> \lim_{x\to x_0^{+}}f(x)=l\)

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