Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Limiti di funzioni

Limite infinito per x che tende a valore finito

In questa lezione ci occuperemo del limite infinito per x che tende ad un valore finito

Lezione

Limite infinito per x che tende a valore finito

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e non definita in \( x_0\) interno ad [a;b]. f(x) tende a \(+\inf\) per x che tende a \( x_0\) quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di \( x_0\) tale che f(x)>M per ogni x appartenente a I e diverso da \(x_0\). Si scrive \(\lim_{x\to x_0\)f(x)=+\inf\).

Si può scrivere dunque: \( \lim_{x\to x_0\)f(x)=+\inf\) se \( \forall M > 0 \exists I(x_0) : f(x)>M, \forall x\in I(x_0), x\neq x_0\).

Se \(\lim_{x\to x_0\)f(x)=+\inf\), si dice anche che la funzione f diverge positivamente.

Limite \(-\inf\) per x che tende a \(x_0\)

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e non definita in \( x_0\) interno ad [a;b]. f(x) tende a \(-\inf\) per x che tende a \( x_0\) quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di \( x_0\) tale che f(x)<-M per ogni x appartenente a I e diverso da \(x_0\). Si scrive \(\lim_{x\to x_0\)f(x)=-\inf\).

Si può scrivere dunque: \( \lim_{x\to x_0\)f(x)=-\inf\) se \( \forall M > 0 \exists I(x_0) : f(x)<-M, \forall x\in I(x_0), x\neq x_0\).

Se \(\lim_{x\to x_0\)f(x)=-\inf\), si dice anche che la funzione f diverge negativamente.

Per i limiti infiniti esistono i limiti destro e sinistro.

Asintoti verticali

Data la funzione y=f(x), se si verifica che \( \lim_{x\to c\)f(x)=+\inf, -\inf\) oppure \( \inf\), la retta x=c è asintoto verticale per il grafico della funzione

La definizione di asintoto verticale è ancora valida se consideriamo il limite destro \(x\to x^+\) o il limite sinistro \( x\to x_0^-\). In questo caso parleremo di asintoto verticale destro o sinistro, rispettivamente.

La distanza di un generico punto del grafico di una funzione da un suo asintoto verticale, di equazione x=c, tende a 0 quando \( x\to c\). Esprimiamo questa proprietà dicendo che per \(x\to c\) il grafico della funzione si avvicina sempre più a quello della retta.

Distinguiamo diversi casi di asintoti:

  • Asintoto verticale \( \lim_{x\to c\)f(x)=+\inf\)
  • Asintoto verticale \( \lim_{x\to c\)f(x)=-\inf\)
  • Asintoto verticale sinistro \( \lim_{x\to c^{-}\)f(x)=+\inf\)
  • Asintoto verticale destro \( \lim_{x\to c^{+}\)f(x)=+\inf\)

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