Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    La retta

Luoghi geometrici retta

In questa lezione ci occuperemo dei luoghi geometrici del piano aventi a che fare con la retta: bisettrice e asse di un segmento.

Lezione

Luoghi geometrici e retta

Un luogo geometrico è l'insieme di tutti e soli i punti che godono di una data proprietà, detta proprietà caratteristica del luogo.

Per studiare nel piano cartesiano un luogo geometrico si cerca un'equazione in due incognite f(x;y)=0 le cui soluzioni sono le coordinate di tutti e soli i punti del luogo: \( P(x_0;y_0)\) appartiene al luogo se e solo se \( f(x_0;y_0)=0\).

Asse di un segmento

L'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento stesso passante per il suo punto medio.

L'equazione dell'asse può ricavarsi ricordando che esso è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. Pertanto dati i due estremi del segmento ed un generico punto P(x;y) ubicato sull'asse, possiamo ricavare l'equazione dell'asse imponendo uguale le due distanze PA e PB. Trovate un esempio nel video e altri esercizi nell'apposita sezione.

Bisettrici degli angoli formati da due rette

La bisettrice di un angolo divide l’angolo in due angoli congruenti ed è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.

Consideriamo le due rette incidenti: \( r: ax+by+c=0\) e \( s:a'x+b'y+c'=0\). Per determinare l’equazione delle due bisettrici, consideriamo un generico punto P(x;y). Esso appartiene ad una bisettrice se e solo se ha la stessa distanza dalle rette r e s. Dunque la formula sarà:

\( \dfrac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}=\pm \dfrac{a'x+b'y+c'}{\sqrt{(a')^2+(b')^2}}\)

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
742 Equazione luogo geometrico retta Data la retta di equazione 2x+3=0, scrivi e rappresenta l'equazione del luogo geometrico dei punti che distano 2 da tale retta \( x=-\dfrac{7}{2} \vee x=\dfrac{1}{2}\) 4 Vai
743 Equazione luogo geometrico retta Scrivi l'equazione del luogo dei punti per i quali la somma dei quadrati delle distanze dai due punti A(1;1) e B(1;-1) è doppia rispetto al quadrato della distanza dall'origine O x=1 3 Vai
744 Equazione luogo geometrico retta Dati i punti A(2;5) e B(6;5) determina il luogo dei punti P tali che l'area del triangolo ABP sia 8 \( y=1\vee y=9\) 4 Vai
745 Equazione luogo geometrico retta al variare del parametro P(k-9; -1) y=-1 3 Vai
746 Equazione luogo geometrico retta al variare del parametro \( P\biggl(2k+3; 1-\dfrac{k}{2}\biggr)\) x+4y-7=0 4 Vai
747 Determinare asse di un segmento A(2;3), B(4;5) 4 Vai
748 Determinare asse di un segmento A(1;1), B(-1;3) 3 Vai
749 Asse di un segmento Calcola il perimetro del triangolo isoscele che ha la base di estremi B(-1;-2) e C(2;-5) e il vertice di ordinata nulla \( 2\sqrt{29}+3\sqrt{2}\) 4 Vai
750 Problemi sull'asse di un segmento Determina sulla retta di equazione 3x+y=0 il punto equidistante dai punti A(2;-1) e B(4;3) (-1;3) 5 Vai
751 Determina le bisettrici 2x+3y-1=0; 2x-3y+3=0 \( x=-\dfrac{1}{2}; y=\dfrac{2}{3}\) 4 Vai
752 Determina le bisettrici x+6y+2=0; 6x+y-1=0 \( 5x-5y-3=0; 7x+7y+1=0\) 3 Vai
753 Determina le bisettrici Determina le bisettrici degli angoli formati dalle rette passanti per l'origine aventi coefficienti angolari 2 e 3 5 Vai
754 Determina il circocentro di un triangolo A(-2;1); B(2;5); C(4;-1) 6 Vai
755 Determina l'ortocentro Trova le coordinate dell'ortocentro del triangolo di vertici A(3;5), B(1;0), C(9;8) (-6;14) 6 Vai
756 Determina l'incentro Calcola le coordinate dell’incentro del triangolo di vertici A(0; 8), B(8; 0) e C(0; 0) 7 Vai
757 Esercizi di riepilogo sulla retta Se M(2; 2) è il punto di incontro delle diagonali di un quadrato ABCD di lato \(l = 2\sqrt{2}\) , determina le coordinate dei vertici del quadrato, sapendo che le diagonali sono perpendicolari agli assi coordinati. A(4;2), B(2;4), C(0;2), D(2;0) 5 Vai
758 Esercizi di riepilogo sulla retta I punti A(-2;4) e B(0;1) sono due vertici del parallelogramma ABCD e il punto \( M\biggl(2;\dfrac{9}{2}\biggr)\) è il punto di intersezione delle diagonali.
a. Determina le coordinate dei vertici C e D
b. Verifica che il parallelogramma è un rettangolo
c. Calcolane il perimetro e l'area
a) C(6;5), D(4;8); c) \( 6\sqrt{13};26\) 5 Vai
759 Esercizi di riepilogo sulla retta I lati di un quadrilatero ABCD appartengono alle rette di equazioni: x - y = 0, x+y-2=0, x+y-6=0, x-y-4=0. Determina le coordinate dei vertici, verifica che ABCD è un quadrato e calcolane area e perimetro. 6 Vai
760 Esercizi di riepilogo sulla retta Determina i vertici e l’area del parallelogramma ABCD che ha due lati consecutivi sulle rette di equazioni 3x+y-5=0, 5x-y-11=0 e un vertice nel punto A(4; 1). 7 Vai
761 Esercizi di riepilogo sulla retta Il quadrato ABCD ha vertici A(0; 0), B(0; 8), C(8; 8) e D(8; 0). I punti P(0; 5) e Q(0; 3) appartengono al lato AB, e il punto F(8; 1) appartiene al lato CD.
a. Qual è l’equazione della retta per Q parallela alla retta passante per P e F?
b. Se la retta del punto a) interseca AD nel punto G, qual è l’equazione della retta passante per F e G?
c. Il centro del quadrato è il punto H(4; 4). Determina l’equazione della retta per H perpendicolare a FG.
5 Vai

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