Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri complessi

Numeri complessi

In questa lezione ci occuperemo delle proprietà principale dei numeri complessi.

Lezione

I numeri complessi

Ci sono una serie di situazioni che non possono essere gestite con i numeri reali. In particolare non esiste il numero reale il cui quadrato è pari a -4. Per individuare questo valore occorre introdurre un nuovo insieme numerico, quello dei numeri complessi.

Definiamo numero complesso ogni coppia ordinata (a;b) di numeri reali.

Operazioni con i numeri complessi

Addizione

Dati due numeri complessi (a;b) e (c;d), la loro somma è il numero complesso definito dalla coppia (a+c;b+d)

Si può dimostrare che l'addizione tra numeri complessi gode delle proprietà commutativa e associativa. Il numero (0;0) è l'elemento neutro dell'addizione.

Somma di numeri del tipo (a;0): il risultato è ancora un numero dello stesso tipo, perchè il secondo elemento della coppia è 0: (h;0)+(k;0)=(h+k;0).

Moltiplicazione

Dati due numeri complessi (a;b) e (c;d), il loro prodotto è il numero complesso definito dalla coppia (ac-bd;ad-bc).

Si può dimostrare che la moltiplicazione tra numeri complessi gode delle proprietà commutativa e associativa e di quella distributiva rispetto all'addizione. Inoltre, il numero (1;0) è l'elemento neutro, mentre (0;0) è l'elemento assorbente, ossia moltiplicato per un numero qualsiasi dà come risultato se stesso.

Prodotti di numeri del tipo (a;0): il risultato è ancora dello stesso tipo, perchè il secondo elemento della coppia è 0: \( (h;0)\cdot (k;0)=(h\cdot k -0\cdot 0;h\cdot 0+k\cdot 0)=(h\cdot k;0)\).

Quadrato di un numero complesso

Calcoliamo il quadrato di un numero complesso, eseguendo il prodotto del numero per se stesso. In generale: \( (a;b)^2=(a;b)\cdot (a;b)=(a^2-b^2;2ab)\).

Quadrato di numeri del tipo(a;0) è: \( (a;0)^2=(a;0)\cdot (a;0)=(a\cdot a -0\cdot 0;a\cdot 0+0\cdot a)=(a^2;0)\)

Quadrato di numeri del tipo(0;b) è: \( (0;b)^2=(0;b)\cdot (0;b)=(0\cdot 0 -b\cdot b;0\cdot b+b\cdot 0)=(-b^2;0)\)

Dal numero complesso al numero reale

Esiste una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni numero complesso del tipo (a;0) il numero reale a, primo elemento della coppia: (a;0) -> a.

Le operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri complessi del tipo (a;0) forniscono gli stessi risultati delle stesse operazioni tra numeri reali corrispondenti.

Definiamo numero complesso reale ogni numero complesso del tipo (a;0) che possiamo anche identificare con il numero reale a. Pertanto un numero complesso reale può esser rappresentato in due modi: a e (a;0). Per semplicità chiameremo numero reale un numero complesso reale.

Numeri immaginari

Definiamo numero immaginario ogni numero complesso del tipo(0;b). L'insieme di questi numeri si chiama insieme dei numeri immaginari e si indica con I. Il numero (0;1) si definisce unità immaginaria, che indichiamo col simbolo i.

Il quadrato dell'unità immaginaria vale -1: \( (0;1)^2=-1\). Dunque possiamo scrivere: \( i^2=-1\). Moltiplicando un numero del tipo (b;0) per l'unità immaginaria si ottiene il numero (0;b).

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
2022 Addizioni con numeri complessi (1;-2)+(-3;5)+(4;-1) 2 Vai
2023 Moltiplicazioni con numeri complessi \((5;7)\cdot (1;1)\); \( (-2;3)\cdot (0;0)\) 2 Vai
2024 Espressioni con numeri complessi \( (3;-1)\cdot [(-4;3)+(4;-3)]\) 2 Vai
2025 Espressioni con numeri complessi \( (-1;-1)\cdot (0;1)+(-2;2)\cdot (3;1)\) 2 Vai
2026 Proprietà dei numeri complessi Dimostrare la seguente proprietà: (1;0) è l'elemento neutro della moltiplicazione 2 Vai
2027 Quadrato di numeri complessi \( (-1;0)^2; (0;-1)^2; (-1;-1)^2\) 2 Vai

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