Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri razionali

Numeri decimali periodici

In questa lezione ci occuperemo dei numeri decimali periodici e vedremo come trasformare un numero decimale periodico in frazione.

Lezione

Numeri decimali periodici

Se una frazione è apparente, ovvero ha come numeratore un multiplo del denominatore, le può essere associato un numero intero.

Esempio: \( \dfrac{18}{9}=2\)

Le frazioni che hanno come denominatore una potenza di 10 (con esponente un naturale diverso da 0) vengono dette frazioni decimali.

Esempio: \( \dfrac{19}{100}\)

Per le frazioni decimali possiamo utilizzare la rappresentazione decimale, che si basa sulla scrittura posizionale e sull’uso della virgola.

Esempio: \( \dfrac{19}{100}=\dfrac{10}{100}+\dfrac{9}{100}=0.1+0.09=0.19\)

Le cifre assumono un valore diverso in base alla posizione in cui si trovano. Con la scrittura decimale possiamo rappresentare non solo le frazioni decimali, ma anche tutte quelle a esse equivalenti. In questo modo a ogni numero razionale rappresentabile con una frazione decimale viene fatto corrispondere un numero decimale finito, ossia un numero decimale che ha un numero finito di cifre decimali.

E' possibile trasformare un numero razionale in un numero decimale finito, dividendo numeratore e denominatore:

  • se dopo un numero finito di passi si ottiene resto 0 allora si parla di numero decimale finito
  • in caso contrario si parla di numero decimale periodico

Numeri decimali periodici

Quando non è possibile trasformare una frazione in frazione decimale, significa che essa corrisponde a un numero decimale periodico, ossia a un numero le cui cifre decimali sono infinite e, da un certo punto in poi, si ripetono a gruppi sempre uguali. Il gruppo di cifre ripetute si chiama periodo; l’insieme delle cifre comprese fra la virgola e il periodo si chiama antiperiodo. Per comodità di scrittura indicheremo il periodo soprassegnandolo.

Il numero decimale periodico è semplice se le cifre si ripetono subito dopo la virgola, misto se il periodo è preceduto dall’antiperiodo.

Le frazioni generatrici

Ogni numero decimale periodico può essere scritto come frazione, detta frazione generatrice del numero decimale. Occorre seguire le seguenti regole:

  • Come numeratore il numero, scritto senza virgola, diminuito del numero costituito da tutte le cifre che precedono il periodo;
  • Come denominatore il numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo

Esempio: \( 0.7\overline{3}=\dfrac{73-7}{90}=\dfrac{66}{90}=\dfrac{11}{15}\)

Ad ogni numero razionale corrisponde un numero decimale, o finito o periodico o viceversa.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
45 Espressioni con i numeri decimali \( \biggl\{\biggl[\biggl(\dfrac{1}{7}-0,5\biggr)\cdot \biggl(3+\dfrac{1}{2}\biggr)\biggr]:\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}\biggr\}\cdot \dfrac{3}{2}+1-\dfrac{3}{4}\) \( -\dfrac{13}{4}\) 5 Vai

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