Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri irrazionali

Numeri reali

In questa lezione ci occuperemo dell'insieme R dei numeri reali, che amplia l'insieme dei numeri razionali aggiungendo tutti quei valori in esso non compresi. Tratteremo della radice quadrata e della radice cubica.

Lezione

I numeri reali

Nell'insieme Q dei numeri razionali è possibile eseguire sempre le quattro operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, esclusa ovviamente la divisione per 0. Tuttavia è necessario ampliare l'insieme Q, poichè l'operazione inversa della potenza, l'estrazione di radice non è interna in Q, quindi non è sempre fattibile, avendo spesso come risultato numeri decimali illimitati e non periodici.

Un esempio di numero decimale illimitato non periodico è \( \sqrt{3}\), ma rientrano in questa categoria anche \( \sqrt{5}\), \( \sqrt{6}\) e cosi via.

Chiamiamo numero irrazionale ogni numero che può essere rappresentato da un numero decimale illimitato non periodico.

Per esempio sono numeri irrazionali: \( \sqrt[3]{5}=1,709...\). Esistono anche numeri irrazionali che non derivano dall'estrazione di radici, come ad esempio \( \pi=3,14159...\).

Poiché esistono dei numeri non razionali, dobbiamo ampliare l’insieme dei numeri razionali Q considerando un nuovo insieme, l’insieme dei numeri reali che è l’unione dell’insieme dei numeri razionali e di quello degli irrazionali.

Chiamiamo numero reale ogni numero che sia razionale o irrazionale e indichiamo con R l’insieme dei numeri reali.

Come l’insieme Q, anche l’insieme R è denso, cioè, dati due numeri reali a e b, esiste sempre un numero reale compreso tra essi, e quindi ne esistono infiniti.

Si può dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca fra punti della retta orientata e l’insieme R, perché a ogni lunghezza corrisponde una misura espressa con un numero reale e, viceversa, ogni numero reale è la misura di una lunghezza. Per questo si dice che R è un insieme completo. Q invece è denso, ma non è completo.

Tuttavia, una corrispondenza biunivoca non esiste soltanto fra numeri reali e lunghezze. Più in generale, questi numeri permettono di associare una misura alle grandezze (massa, intensità luminosa, velocità, frequenza…) che intervengono nella costruzione di modelli scientifici della realtà, e proprio per questo si chiamano numeri reali.

La radice quadrata

La radice quadrata è definita come l’operazione inversa dell’elevamento a potenza con esponente 2. Chiediamoci ora quale numero elevato al quadrato ha per risultato 49. Il problema non ha soluzione perché non esiste alcun numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo. Diciamo quindi che la radice quadrata di -49 non esiste nell’insieme dei numeri reali.

La radice quadrata di un numero reale \(a\geq 0\) è il numero \(b\geq 0\) che elevato al quadrato dà a. Esempio: \( b=\sqrt{a} -> b^2=a\), con \( a\geq 0, b\geq 0\).

La radice cubica

Vogliamo ora definire la radice cubica come operazione inversa dell’elevamento a potenza con esponente 3. A differenza della radice quadrata, la radice cubica esiste anche per numeri negativi e in questo caso ha segno negativo. Ogni numero reale a, quindi, ha sempre una e una sola radice cubica in R, che si indica con \( \sqrt[3]{a}\).

La radice cubica di un numero a qualsiasi è il numero b che elevato al cubo dà a. Esempio: \( b=\sqrt[3]{a} -> b^3=a\), b ha lo stesso segno di a

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
240 Semplifica le seguenti espressioni \( \sqrt[3]{1+\sqrt{36}+\sqrt[3]{-8}+\sqrt{(-3)^2}}\) 2 3 Vai
241 Semplifica le seguenti espressioni \( \sqrt{\sqrt{(-5)^2}-\sqrt{-[-(-4)^2]}}\) 1 3 Vai
242 Semplifica le seguenti espressioni \( \sqrt{\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-8}}\cdot \sqrt[3]{-(-5)^3}\) 5 4 Vai

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