Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Le frazioni algebriche

Operazioni con le frazioni algebriche

In questa lezione ci occuperemo delle operazioni con le frazioni algebriche: addizione e sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenza di frazioni algebriche.

Lezione

Operazioni con le frazioni algebriche

Due frazioni algebriche sono equivalenti se e solo se sono uguali i prodotti in croce, ovvero il prodotto tra numeratore del primo e denominatore del secondo e il prodotto tra denominatore del primo e numeratore del secondo.

Prendiamo in considerazione le due frazioni algebriche: \( \dfrac{4a}{2b} e \dfrac{8a}{4b}\) se facciamo i prodotti incrociati otteniamo: \( 4a\cdot 4b=16ab\) e \( 2b\cdot 8a=16ab\), dunque le due frazioni sono equivalenti.

Semplificazione delle frazioni algebriche

Come per le frazioni numeriche, passiamo da una frazione algebrica a una equivalente applicando la proprietà invariantiva, cioè moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso polinomio, diverso dal polinomio nullo.

Facciamo un esempio: \( \dfrac{b-2}{b}=\dfrac{(b-2)(b+1)}{b(b+1)}=\dfrac{b^2-b-2}{b^2+b}\); le due frazioni sono equivalenti a patto che \( b\neq 0 e b\neq -1\)

Inoltre applicando la proprietà invariantiva, possiamo semplificare una frazione algebrica per ridurla ai minimi termini. È necessario scomporre in fattori numeratore e denominatore e poi dividere numeratore e denominatore per i fattori comuni, dopo averli posti diversi da 0.

Nella semplificazione occorre fare attenzione a semplificare solo i fattori, mai gli addendi.

La riduzione allo stesso denominatore

La proprietà invariantiva serve anche per ridurre più frazioni algebriche allo stesso denominatore. È necessario determinare il mcm dei denominatori.

Riduciamo a denominatore comune le seguenti frazioni: \( \dfrac{x}{x^2} e \dfrac{1}{xy}\). Il mcm è \( x^2y\) otteniamo: \( \dfrac{x}{x^2}=\dfrac{xy}{x^2y} e \dfrac{1}{xy}=\dfrac{x}{x^2y}\).

L'addizione e la sottrazione di frazione algebriche

La somma algebrica di due o più frazioni algebriche che hanno lo stesso denominatore è la frazione algebrica che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma algebrica dei numeratori: \( \dfrac{A}{D}+\dfrac{B}{D}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A+B-C}{D}\).

.

Per sommare due o più frazioni con denominatore diverso bisogna prima ridurle allo stesso denominatore, poi sommare i numeratori, come avviene per le frazioni numeriche.

La moltiplicazione di frazioni algebriche

Il prodotto di due o più frazioni algebriche è una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori: \( \dfrac{A}{B}\cdot \dfrac{C}{D}=\dfrac{A\cdot C}{B\cdot D}\).

La divisione di frazioni algebriche

La divisione di due o più frazioni algebriche è una frazione algebrica che si ottiene moltiplicando la prima frazione per la reciproca della seconda: \( \dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot \dfrac{D}{C}\).

Le condizioni di esistenza sono \( B\neq 0\) e \(D\neq 0\) per l'esistenza delle frazioni algebriche, \( C\neq 0\) perchè sia possibile eseguire la divisione.

La potenza di frazioni algebriche

La potenza di una frazione algebrica è la frazione algebrica che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore: \( \biggl(\dfrac{A}{B}\biggr)^n=\dfrac{A^n}{B^n}\)

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
158 Somma tra frazioni algebriche \( -\dfrac{5}{2a}+\dfrac{3}{a}-\dfrac{2}{7a};\) 3 Vai
159 Somma tra frazioni algebriche \( \dfrac{1}{6b}-\dfrac{2}{3b}+\dfrac{1}{2b};\) 3 Vai
160 Somma tra frazioni algebriche \( \dfrac{3}{4a}+\dfrac{1}{2a}-\dfrac{2}{3a};\) 3 Vai
161 Somma tra frazioni algebriche \( \dfrac{11}{2a^2x^2}-1-\dfrac{3}{4a^2x^2}\); \( \dfrac{a+b}{2a}-\dfrac{2a-b}{3b}-\dfrac{3b-1}{6a}\) \( \dfrac{19-4a^2x^2}{4a^2x^2};\dfrac{3b-2a}{3b}\) 3 Vai
162 Somma tra frazioni algebriche \( \dfrac{x+2y}{2x}+\dfrac{x-y}{3x}-\dfrac{x+4y}{6x}\); \(\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{2b}{a}+2-\dfrac{(a+b)^2}{ab}\) \( \dfrac{2}{3};0\) 3 Vai
163 Prodotto tra frazioni algebriche \( \dfrac{25x^3y}{81y^2}\cdot \biggl(-\dfrac{54y^2}{75x^4}\biggr);\) \( \dfrac{7x^2y}{8a}\cdot \biggl(-\dfrac{16a^2b}{28x^3y^3}\biggr)\cdot \dfrac{6xy^2}{5ab};\) \( -\dfrac{2y}{9x}; -\dfrac{3}{5}\) 3 Vai
164 Prodotto tra frazioni algebriche \( \dfrac{0,5x^3y^3}{3ab^2}\cdot \dfrac{15a^3y}{7x^4y^2}\cdot \dfrac{x^3}{5a^2y}\); \( -9b^3y^2\cdot \dfrac{3ax^2}{2by}\cdot \dfrac{2y}{45a^2x^2}\) \( \dfrac{x^2y}{14b^2};-\dfrac{3b^2y^2}{5a}\) 4 Vai
165 Prodotto tra frazioni algebriche \( \dfrac{12a^2b^4}{-5x^3y^4}\cdot \biggl(-\dfrac{1}{2a}\biggr)\cdot \biggl(-\dfrac{10x^2y^2}{ab^3}\biggr)\); \( \biggl(-\dfrac{5b^4}{a^3}\cdot 10a^3b^3\cdot \dfrac{1}{15b^{12}}\) \( -\dfrac{12b}{xy}\); \(-\dfrac{10}{3b^5}\) 4 Vai
166 Espressioni con le frazioni algebriche \( \biggl(\dfrac{x+2a}{a}+\dfrac{4a}{x-2a}\biggr)\cdot \dfrac{ax-3a^2}{x^3}\); \( \biggl(1+\dfrac{1}{x}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{1-x^2}\biggr)\) \( \dfrac{x-3a}{x(x-2a)}; \dfrac{x}{x-1}\) 3 Vai
167 Espressioni con le frazioni algebriche \( \biggl(3a+\dfrac{3a-1}{2}\biggr)\cdot \biggl(3a-\dfrac{3a}{1-3a}\biggr)\cdot \dfrac{6a-2}{9a-1}\); \( \biggl( \dfrac{1}{3}a-2b+\dfrac{3b^2}{a}\biggr)\cdot \dfrac{12ab}{a-3b}\) \( 9a^2; 4b(a-3b)\) 3 Vai
168 Espressioni con le frazioni algebriche \( \dfrac{2a^3}{a+b}\cdot \dfrac{a^2+2ab+b^2}{4ab}\cdot \biggl(-\dfrac{2b}{b^2-a^2}\biggr)\); \(a-\dfrac{a-1}{a+3}\biggr)\cdot \dfrac{a^2-9}{a+1}\) \( \dfrac{a^2}{a-b}; (a+1)(a-3)\) 4 Vai
169 Divisioni tra frazioni algebriche \( \dfrac{2}{a}:\dfrac{a-1}{a+1}\); \( \dfrac{5a-5b}{3ab}:\dfrac{a^2}{a-b}\) \( \dfrac{2(a+1)}{a(a-1)}\); \( \dfrac{5(a-b)^2}{3a^3b}\) 3 Vai
170 Divisioni tra frazioni algebriche \( \dfrac{a^4b^2}{3}:\dfrac{ab^3}{6}\); \( \dfrac{a^3x}{by^2}:\dfrac{a^4x^2}{b^2y}\) \( \dfrac{2a^3}{b};\dfrac{b}{axy}\) 3 Vai
171 Divisioni tra frazioni algebriche \( -12ab:\biggl(-\dfrac{2}{3}ab\biggr)\); \( \dfrac{7bx}{2ay}:\dfrac{5bx}{4ay}\) \( 18; \dfrac{14}{5}\) 3 Vai
172 Espressioni con frazioni algebriche \( \dfrac{3ab-b}{2a}:(9a^2-3a)\); \( \dfrac{3x^2-6xy}{2y^4}:\dfrac{x^2-4y^2}{y^3}\) \( \dfrac{b}{6a^2}; \dfrac{3x}{2y(x+2y)}\) 4 Vai
173 Espressioni con le frazioni algebriche \( \dfrac{(x+2y^2)^3}{(1-x)^2}:\dfrac{(2y^2+x)^2}{(x-1)^3}\) \( (4x^2-2x):\dfrac{4x^2+1-4x}{x}\) \( (x+2y^2)(x-1); \dfrac{2x^2}{2x-1}\) 4 Vai
174 Espressioni con le frazioni algebriche \( \dfrac{x^2-x}{x^2+4x+4}:\dfrac{2x^2+6x}{x^2-4}\); \( \dfrac{x^3+1+3x^2+3x}{x^2+5x}:\biggl(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\) \( \dfrac{(x-1)(x-2)}{2(x+2)(x+3)}; \dfrac{x^2+x}{x+5}\) 4 Vai
175 Problemi con le frazioni algebriche E' data l'espressione \( \biggl(1+\dfrac{1}{s}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{1-s^2}\biggr)\):
a. Per quali valori di s l'espressione è priva di significato?
b. Può essere nullo il secondo fattore dell'espressione? Perchè?
c. Semplifica l'espressione e determina per quale valore di s appartenente ad R il risultato vale 2
d. Per quale frazione algebrica occorre dividere il risultato dell'espressione, affinché il quoziente sia pari a 3?
a) 0, -1, 1; b)no; c) s=2; d) \( \dfrac{s}{3(s-1)}\) 5 Vai
176 Potenze di frazioni algebriche \( \biggl(\dfrac{3a^2b^3}{4c^4}\biggr)^2\); \( \biggl(-\dfrac{2xy^2}{3z^3}\biggr)^3\) \(\dfrac{9a^4b^6}{16c^8}; \dfrac{x^6}{8y^9z{18}}\) 4 Vai
177 Potenze di frazioni algebriche \( \biggl(-\dfrac{27a^4b^5c^8}{9a^2b^6c^5}\biggr)\); \(\biggl(\dfrac{6x^3y^3z}{12xy^5z^7}\biggr)\) \( \dfrac{9a^4c^6}{b^2}; \dfrac{x^6}{8y^9z^{18}}\) 4 Vai
178 Potenze di frazioni algebriche \( \biggl(\dfrac{2a+2b}{a^2+2ab+b^2}\biggr)^3\); \( \biggl(\dfrac{4a^2-4b^2}{2b-2a}\biggr)^3\) \( \dfrac{8}{(a+b)^3}; -8(a+b)^3\) 4 Vai
179 Potenze di frazioni algebriche \( \biggl(x-\dfrac{xy}{x+y}\biggr)^3\); \( \biggl[2pq^3\cdot \biggl(-\dfrac{1}{2p^2q}\biggr)\biggr]^5\) \(\dfrac{x^6}{(x+y)^3}; -\dfrac{q^{10}}{p^5}\) 4 Vai
180 Potenze negative di frazioni algebriche \( \biggl(-\dfrac{2ac^2}{3b^4}\biggr)^{-2}\); \( \biggl(\dfrac{a-3}{a^2-4a+3}\biggr)^{-1}\) \( \dfrac{9b^8}{4a^2c^4};a-1\) 4 Vai
181 Potenze negative di frazioni algebriche \( \biggl[-\dfrac{1}{2(a+2b)^3}\biggr]^{-3}\); \( \biggl[\biggl(\dfrac{x+3}{x^2-2x-15)}\biggr)^{-1}\biggr]^{-2}\) \( -8(a+2b)^9; \dfrac{1}{(x-5)^2}\) 4 Vai
182 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \dfrac{a^3-2}{4a^2y}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{4y}+\dfrac{1}{2a^2y}\) \( \dfrac{1}{2}\) 3 Vai
183 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \dfrac{z^3+t^3}{z^2-t^2}:\dfrac{z^3-z^2t+zt^2}{2z-2t}\) \( \dfrac{2}{z}\) 3 Vai
184 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \dfrac{(a-1)(a+1)}{a^2b^2}-\dfrac{1+2a^2}{a^2}+\dfrac{b^2+1}{a^2b^2}\) \( \dfrac{1-2b^2}{b^2}\) 4 Vai
185 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( 1-\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{x}{3y^2}+\dfrac{2x^3+y^3}{6x^2y^2}-\dfrac{y}{6x^2}\) \( \dfrac{x^2-1}{x^2}\) 4 Vai
186 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \biggl[\dfrac{(a+2)^2}{a^2+2a+4}:\biggl(\dfrac{a^3-8}{a+2}\biggr)^{-1}\biggr]^2\) \( (a^2-4)^2\) 4 Vai
187 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \dfrac{x^2-y^2}{16y^4-(y+1)^2}\cdot \dfrac{4y^2+y+1}{3x-3y}\cdot \dfrac{4y^2-y-1}{x+y}\) \( \dfrac{1}{3}\) 4 Vai
188 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \dfrac{2}{a}+\dfrac{a^2+a}{a^2+4a+3}+\dfrac{4a+3}{a^2+3a}\) \( \dfrac{a+3}{a}\) 4 Vai
189 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \biggl[\dfrac{2(x-y)^2}{(x+y)}\cdot \dfrac{28}{3(y-x)}\cdot \biggl(-\dfrac{x+y}{8}-\dfrac{x-y}{3}\biggr]:(x-y)\) 2 4 Vai
190 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \dfrac{a}{a-2}-\dfrac{a}{a+2}:\dfrac{4}{a^2-a-2}:\dfrac{a^2-1}{a^2+a-2}\) \( \dfrac{a^2(4-a)}{4(a-2)}\) 5 Vai
191 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \dfrac{2a+7}{a^3+2a^2-a-2}-\dfrac{3}{a^2+a-2}+\dfrac{2}{a^2+3a+2}\) \( \dfrac{1}{a^2-1}\) 5 Vai
192 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \biggl(\dfrac{6a}{a^2-9}+\dfrac{a}{a+3}+\dfrac{3}{3-a}\biggr)^3:\biggl(\dfrac{b}{b-2}+\dfrac{8}{4-b^2}-\dfrac{2}{b+2}\biggr)^4\) 1 6 Vai
193 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \biggl[\dfrac{(m+1)(m-1)+2}{m^2-2m+1}+\dfrac{2}{m-1}-\dfrac{2m^2}{m^3-2m^2+m}\biggr]\cdot \dfrac{m+\dfrac{1}{m}}{m^2+1}: \dfrac{1}{m-1}\) \( \dfrac{m-1}{m}\) 6 Vai
194 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \dfrac{\dfrac{(x+2y^2)^3}{(1-x)^2}}{\dfrac{(2y^2+x)^2}{(x-1)^3}}\) \( (x+2y^2)(x-1)\) 4 Vai
195 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \dfrac{1+\dfrac{2}{x-1}}{\dfrac{x^2+x}{2x-2}}\); \( \dfrac{\dfrac{x^3+1+3x^2+3x}{x^2+5x}}{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}}\) \( \dfrac{2}{x}\); \( \dfrac{x^2+x}{x+5}\) 5 Vai
196 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \biggl[\biggl(\dfrac{3x^2-2}{x-1}+\dfrac{6x-2}{x-3}\cdot \dfrac{9-x^2}{3x-1}\biggr)\cdot \dfrac{1}{x-2}+1\biggr]^2\cdot \biggl(1+\dfrac{x-2}{x-1}\biggr)^{-3}\) \( \dfrac{x-1}{2x-3}\) 7 Vai
197 Espressioni di riepilogo con frazioni algebriche \( \biggl(\dfrac{1}{a-3}+\dfrac{1}{2a^2-3a-9}\biggr)\cdot \dfrac{2a+3}{a^2+2a}+\biggl(\dfrac{1}{a^2-9}-\dfrac{1}{a^2-3a}\biggr):\dfrac{1}{a+3}\) \( \dfrac{-1}{a(a-3)}\) 6 Vai
198 Problemi con le frazioni algebriche a. Per quali valori di A l'espressione \( 1-\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{A}}\) perde di significato?
b. Determina il valore che assume l'espressione per A=b-1
c. Per A=b-1, quale valore devi attribuire a b reale affinchè l'espressione valga \( \dfrac{1}{2}\)?
d. Per quali valori di b reale l'espressione perde di significato?
4 Vai
199 Problemi con le frazioni algebriche E' data l'espressione \( \biggl(\dfrac{2y}{y^2-1}-F\biggr)+\dfrac{y}{1+y}\).
a. Determina la frazione F da sostituire nell'espressione affinché il risultato sia 1.
b. Per quale valore di y reale la frazione F trovata perde significato?
c. Per quale valore di y reale la funzione F si annulla?
4 Vai

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