Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri complessi

Operazioni forma trigonometrica

In questa lezione vedremo come effettuare le principali operazioni con i numeri complessi espressi in forma trigonometrica.

Lezione

Operazioni tra numeri complessi in forma trigonometrica

La forma trigonometrica di un numero complesso rende più agevole le operazioni di moltiplicazione, divisione e le potenze.

Moltiplicazione

Calcoliamo il prodotto dei numeri complessi: \( z_1=r(cos(\alpha)+isen(\alpha))\) e \( z_2=r(cos(\beta)+isen(\beta))\):

\( z_1\cdot z_2=r\cdot s\cdot (cos(\alpha)+isen(\alpha))\cdot (cos(\beta)+isen(\beta))= r\cdot s\cdot (cos(\alpha)cos(\beta)+icos(\alpha)sen(\beta)+isen(\alpha)cos(\beta)-sen(\alpha)sen(\beta))\).

Da cui la formula definitiva:

\( z_1\cdot z_2=r\cdot s[cos(\alpha +\beta)+isen(\alpha+\beta)]\).

Il prodotto di due numeri complessi scritti in forma trigonometrica è pari al numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli dei numeri dati e per argomento la somma degli argomenti

Divisione

Calcoliamo il quoziente dei numeri complessi: \( z_1=r(cos(\alpha)+isen(\alpha))\) e \( z_2=r(cos(\beta)+isen(\beta))\):

\( \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r}{s}\cdot [cos(\alpha-\beta)+isen(\alpha-\beta)]\)

Il quoziente di due numeri complessi scritti in forma trigonometrica è pari al numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli dei numeri dati e per argomento la differenza degli argomenti

Reciproco

Il reciproco di un numero complesso espresso in forma trigonometrica \( z=r(cos(\alpha)+isen(\alpha))\) è pari a:

\( \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}(cos(\alpha)-isen(\alpha))\).

Potenza

Calcoliamo la potenza n-esima di un numero complesso espresso in forma trigonometrica \( z=r(cos(\alpha)+isen(\alpha))\):

\( [r(cos(\alpha)+isen(\alpha))]^n=r^n\cdot (cos(n\alpha)+isen(n\alpha))\)

Proviamo a calcolare la potenza n-esima negativa di un numero complesso \( z=r(cos(\alpha)+isen(\alpha))\), otteniamo:

\(\dfrac{1}{r^n}\cdot (cos(n\alpha)-isen(n\alpha))\).

La potenza con esponente intero di un numero complesso scritto in forma trigonometrica è pari al numero complesso che ha per modulo la potenza del modulo del numero dato e per argomento il prodotto dell'esponente per l'argomento del numero dato.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
2087 Prodotto tra numeri complessi in forma trigonometrica \( z_1=\dfrac{4}{3}\biggl(cos{\dfrac{5}{6}\pi+isin{\dfrac{5}{6}\pi\biggr)\), \( z_2=\dfrac{1}{2}\biggl(cos{\dfrac{\pi}{3}+isin{\dfrac{\pi}{3}\biggr)\) 3 Vai
2088 Prodotto tra numeri complessi in forma trigonometrica \( z_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\biggl(cos{\dfrac{11}{6}\pi+isin{\dfrac{11}{6}\pi\biggr)\), \( z_2=\sqrt{3}\biggl(cos{\dfrac{\pi}{4}+isin{\dfrac{\pi}{4}\biggr)\) 5 Vai
2089 Prodotto tra numeri complessi in forma trigonometrica ed algebrica \( (8-8i)(-3+3i)\) 4 Vai
2090 Prodotto tra numeri complessi in forma trigonometrica ed algebrica \( (\sqrt{3}-i)(1+\sqrt{3}i)\) 5 Vai
2091 Divisione tra numeri complessi in forma trigonometrica \( z_1=cos{\dfrac{7}{4}\pi+isin{\dfrac{7}{4}\pi\), \( z_2=cos{\dfrac{3}{4}\pi+isin{\dfrac{3}{4}\pi\) 3 Vai
2092 Divisione tra numeri complessi in forma trigonometrica \( z_1=2\sqrt{2}\biggl(cos{\dfrac{\pi}{3}+isin{\dfrac{\pi}{3}\biggr)\), \( z_2=4\biggl(cos{\dfrac{\pi}{4}+isin{\dfrac{\pi}{4}\biggr)\) 3 Vai
2093 Reciproco di numeri complessi in forma trigonometrica \( \dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{1}{4}i\), \( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\) 4 Vai
2094 Reciproco di numeri complessi in forma trigonometrica \( 2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i\), \( -1+\sqrt{3}i\) 4 Vai
2095 Divisione di numeri complessi in forma trigonometrica e algebrica \( \dfrac{5+5i}{2i}\) 6 Vai
2096 Potenza di numeri complessi in forma trigonometrica \( \biggl[\dfrac{2}{\sqrt{5}}\biggl(cos{\dfrac{\pi}{8}}+isin{\dfrac{\pi}{8}}\biggr)\biggr]^4\) 4 Vai
2097 Potenza di numeri complessi in forma trigonometrica \( \biggl[\dfrac{1}{2}\biggl(cos{\dfrac{4}{3}\pi}+isin{\dfrac{4}{3}\pi}\biggr)\biggr]^3\) 4 Vai
2098 Potenza di numeri complessi in forma trigonometrica \( \biggl(cos{\dfrac{4}{3}\pi}+isin{\dfrac{4}{3}\pi}\biggr)^6\) 4 Vai
2099 Potenza di numeri complessi in forma trigonometrica \( (-2-2\sqrt{3}i)^3\) 4 Vai
2100 Potenza di numeri complessi in forma trigonometrica \( \biggl(\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i\biggr)^4\) 4 Vai
2101 Potenza con esponente negativo di numeri complessi in forma trigonometrica \( \biggl[\sqrt{3}\biggl(cos{\dfrac{2}{3}\pi}+isin{\dfrac{2}{3}\pi}\biggr)\biggr]^{-3}\) 4 Vai
2102 Potenza con esponente negativo di numeri complessi in forma trigonometrica \( \biggl[\dfrac{1}{3}\biggl(cos{\dfrac{5}{3}\pi}+isin{\dfrac{5}{3}\pi}\biggr)\biggr]^{-6}\) 4 Vai
2103 Espressioni numeri complessi in forma trigonometrica \( \dfrac{3\biggl(cos{\dfrac{\pi}{5}}+isin{\dfrac{\pi}{5}}\biggr)\cdot \dfrac{2}{3}\biggl(cos{\dfrac{2}{5}\pi}+isin{\dfrac{2}{5}\pi}\biggr)}{cos{\dfrac{7}{5}\pi}-isin{\dfrac{7}{5}\pi}}\) 4 Vai
2104 Espressioni numeri complessi in forma trigonometrica \( \dfrac{\biggl[\sqrt[8]{2}\biggl(cos{\dfrac{\pi}{8}}+isin{\dfrac{\pi}{8}}\biggr)\biggr]^8 \biggl[\sqrt[9]{2}\biggl(cos{\dfrac{\pi}{36}}+isin{\dfrac{\pi}{36}}\biggr)\biggr]^9}{\sqrt[5]{2}\biggl(cos{\dfrac{\pi}{10}}-isin{\dfrac{\pi}{10}}\biggr)\biggr]^5}\) 6 Vai
2105 Espressioni numeri complessi in forma trigonometrica \( z_1^3+z_2^3;\)
\( z_1=2\sqrt{2}\biggl(cos{\dfrac{5}{12}\pi}+isin{\dfrac{5}{12}\pi}\biggr); z_2=2\sqrt{2}\biggl(cos{\dfrac{3}{4}\pi}+isin{\dfrac{3}{4}\pi}\biggr);\)
4 Vai
2106 Espressioni numeri complessi in forma trigonometrica \( \dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2};\) \( z_1=\sqrt{2}\biggl(cos{\dfrac{\pi}{4}}+isin{\dfrac{\pi}{4}\pi}\biggr); z_2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\biggl(cos{\dfrac{\pi}{3}}+isin{\dfrac{\pi}{3}}\biggr);\) 4 Vai
2107 Espressioni numeri complessi in forma trigonometrica \( z_1^2z_2^4-z_1^4;\) \( z_1=cos{\dfrac{\pi}{4}}+isin{\dfrac{\pi}{4}\pi}; z_2=cos{\dfrac{5}{4}\pi}+isin{\dfrac{5}{4}\pi};\) 4 Vai
2108 Espressioni numeri complessi in forma trigonometrica \( (1-i)^6\cdot (2+2i)^4\) 7 Vai

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