Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri complessi

Operazioni numeri complessi forma algebrica

In questa lezione ci occuperemo delle operazioni con i numeri complessi in forma algebrica.

Lezione

La somma di due numeri complessi opposti è 0

(a+bi)+(-a-bi)=0

Sottrazione

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

La differenza tra due numeri complessi è un numero complesso che ha:

  • per parte reale la differenza delle parti reali
  • per parte immaginaria la differenza delle parti immaginarie

La differenza di due numeri complessi coniugati è un numero immaginario che ha per coefficiente il doppio della parte immaginaria del minuendo.

Moltiplicazione

\( (a+bi)\cdot (c+di)=ac+adi+bci+bdi^2\)

Poichè \( i^2=-1\) e dunque \( bdi^2=-bd\) abbiamo: \( (a+bi)\cdot (c+di)=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i\).

Il prodotto di due numeri complessi coniugati è un numero reale dato dalla somma del quadrato della parte reale e del quadrato della parte immaginaria: \( (a+bi)\cdot (a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\).

Reciproco

Il reciproco di un numero complesso a+bi è il numero complesso che, moltiplicato per il numero dato, dà come risultato 1. Lo indichiamo con: \( \dfrac{1}{a+bi}\).

Divisione

Il quoziente tra due numeri complessi a+bi e c+di è il prodotto del primo per il reciproco del secondo:

\( (a+bi):(c+di)=(a+bi)\cdot \dfrac{1}{c+di}=\dfrac{a+bi}{c+di}\).

Stesso risultato si può ottenere moltiplicando numeratore e divisore per il complesso coniugato del denominatore ottenendo: \( \dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)

Potenza

Fra le potenze di numeri complessi esaminiamo solo l'elevamento al quadrato e al cubo. Per il calcolo del quadrato utilizziamo la regola del quadrato di un binomio: \( (a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi\).

Per il calcolo del cubo utilizziamo la regola del cubo di un binomio ottenendo:

\( (a+bi)^3=a^3+3\cdot a^2\cdot bi+3\cdot a\cdot b^2i^2+b^3i^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i\)

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
2047 Addizione e sottrazione numeri complessi forma algebrica \( (2+7i)+(-12i)+7\) 2 Vai
2048 Addizione e sottrazione numeri complessi forma algebrica \( \dfrac{3}{4}i+\biggl(2-\dfrac{1}{3}i\biggr)\) 3 Vai
2049 Addizione e sottrazione numeri complessi forma algebrica \( (-2i)-(-4+7i)-(-5i)\) 3 Vai
2050 Moltiplicazione numeri complessi forma algebrica \( (6+3i)(6+2i)\) 3 Vai
2051 Parametro e moltiplicazione numeri complessi forma algebrica Trova per quali valori di k il prodotto:
\( (k+3+ki)\cdot (1-2ki)\)
risulta un numero reale
\( 0; \dfrac{5}{2}\) 4 Vai
2052 Reciproco numeri complessi forma algebrica 1-i; 3+2i 3 Vai
2053 Divisione numeri complessi forma algebrica \( \dfrac{3+4i}{2i}\); \( \dfrac{-6-2i}{5i}\); \( \dfrac{8-3i}{2i}\) 4 Vai
2054 Divisione numeri complessi forma algebrica \( \dfrac{1-i}{2+i}\); \( \dfrac{2-i}{2+3i}\); \( \dfrac{3-i}{3+2i}\) 4 Vai
2055 Divisione numeri complessi forma algebrica Dato \( z=\dfrac{2i-1}{1+i}\), trova:
a. il suo modulo;
b. il suo coniugato;
c. il suo opposto
4 Vai
2056 Quadrato numeri complessi forma algebrica \( -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i\); \( \dfrac{1}{4}-i\); \( -5-\dfrac{1}{5}i\) 3 Vai
2057 Quadrato numeri complessi forma algebrica Dato il numero complesso z=a+2-2i, trova a in modo che:
a. \( z^2\) sia un numero reale;
b. \( \bar{z}^2\) sia un numero immaginario;
c. \( z\cdot \bar{z}=13\)
6 Vai
2058 Cubo numeri complessi forma algebrica 3-2i; 1-5i; 4 Vai
2059 Operazioni numeri complessi forma algebrica Considera il numero complesso z=3-4i. Calcola \( \bar{\bar{z}}, z-\bar{z}, |\bar{z}|^2, |z+\bar{z}|\) 3-4i, 25, 25, 6 4 Vai
2060 Operazioni numeri complessi forma algebrica \( \dfrac{1-2i}{2+i}+\dfrac{2-3i}{5}\) 4 Vai
2061 Operazioni numeri complessi forma algebrica \( \biggl(\dfrac{1+2i}{i-1}+\dfrac{39i}{2+3i}-\dfrac{19}{2}\biggr)\cdot 2i +6i\) -9+6i 5 Vai
2062 Operazioni numeri complessi forma algebrica \( (2+3i)(2-3i)-(3+i)^2-i(\bar{3+2i})-6(i+2)\) -5-9i 3 Vai
2063 Operazioni numeri complessi forma algebrica \( \dfrac{1-i}{1-i^2}+\dfrac{1}{1-i}+\dfrac{1-2i}{2i}\) \( -\dfrac{i}{2}\) 4 Vai
2064 Operazioni numeri complessi forma algebrica \( \dfrac{(2i)^2-(1+i)^2}{i(2+3i)}-i(2-i)\) 6 Vai
2065 Operazioni numeri complessi forma algebrica \( \dfrac{18i^{18}+7i^6}{(2i^{52}+i^{53})^2}:\dfrac{4i^{36}-2i^{20}}{(2i^8+i^7-i^{20})^2}\) 7 Vai
2066 Operazioni numeri complessi forma algebrica \( 4\dfrac{2-i}{3+i}-i^{28}+\biggl[\dfrac{2i}{i-1}(4-i)-(2i+1)^2\biggr]\cdot 2i\) 9 Vai
2067 Operazioni numeri complessi forma algebrica \( \dfrac{1}{2-i}+\dfrac{1-i}{i(1+1)}\) 4 Vai
2068 Operazioni numeri complessi forma algebrica \( \dfrac{i(1+i)}{2-i}-\dfrac{3+2i}{1-2i}-(2-i)(\bar{2-3i})i\) 8 Vai
2069 Operazioni numeri complessi forma algebrica Considera i due numeri complessi \( z_1=-1-2i, z_2=2-i\) e trova per quali valori reali p, q il numero \( z=pz_1+qz_2\):
a. è immaginario;
b. è reale;
c. ha modulo \( |z|=2\sqrt{5}\)
7 Vai
2070 Equazioni numeri complessi forma algebrica \( z^2+|z|^2=4+i\) 4 Vai
2071 Equazioni numeri complessi forma algebrica \( |i+z|^2-i-2=z\) 4 Vai

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