Operazioni con i numeri razionali

Addizione e sottrazione

Definizione: La somma o la differenza di due numeri razionali espressi da frazioni con lo stesso denominatore è il numero espresso dalla frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma o la differenza dei numeratori.

Esempio: \( \dfrac{4}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{4+2}{5}=\dfrac{6}{5}\)

Se i numeri razionali sono espressi da frazioni che hanno denominatori diversi, si utilizza la definizione precedente dopo aver ridotto le frazioni al minimo denominatore comune.

Esempio: \( \dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{15}\)
Troviamo il mcm che è pari a 30. Otteniamo:
\(\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{30}\)
\(\dfrac{2}{15}=\dfrac{4}{30}\)
Sommiamo i termini e otteniamo: \( \dfrac{5}{30}+\dfrac{4}{30}=\dfrac{9}{30}\)

L’addizione e la sottrazione sono operazioni interne in Q.

In Q valgono tutte le proprietà dell’addizione (commutativa, associativa, esistenza dell’opposto) e della sottrazione (invariantiva) e vale la prima legge di monotonia sia per le uguaglianze, sia per le disuguaglianze. Inoltre, l’elemento neutro per l’addizione in Q è 0, come già si verificava nell’insieme dei numeri interi Z.

La moltiplicazione

Definizione: Il prodotto di due numeri razionali espressi da frazioni è il numero espresso dalla frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei numeratori.

Esempio: \( \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{8}{25}\)

Se si effettua una moltiplicazione tra una frazione e un numero intero, quest'ultimo si considera con denominatore pari a 1.

Esempio: \( \dfrac{4}{5}\cdot 2=\dfrac{8}{5}\)

Valgono tutte le proprietà della moltiplicazione e vale la seconda legge di monotonia sia per le uguaglianze che per le disuguaglianze

Definiamo reciproco del numero razionale espresso dalla frazione n/d il numero espresso dalla frazione d/n ottenuto scambiando numeratore e denominatore.

Il numero 0 non ha reciproco, mentre la moltiplicazione di un numero razionale per il suo reciproco dà come prodotto 1.

Definizione: Per ogni numero razionale esiste il reciproco, ossia quel numero che moltiplicato per quello di partenza da come risultato 1.

La divisione

Definizione: Il quoziente di due numeri razionali espressi da frazioni, con il secondo diverso da 0, è uguale al prodotto del primo per il reciproco del secondo.

Esempio: \( \dfrac{4}{5} : \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{2}=\dfrac{4\cdot 5}{5\cdot 2}=\dfrac{20}{10}\)

E' possibile nell'insieme dei numeri razionali effettuare sempre la divisione tranne nel caso in cui il divisore sia pari a 0.

Valgono nell'insieme dei numeri razionali le proprietà invariantiva e distributiva a sinistra rispetto all'addizione.

La potenza

Definizione: La potenza n-esima di una frazione \( \dfrac{a}{b}\) è la frazione che ha per numeratore \(a^n\) e per denominatore \(b^n\).

Esempio: \(\biggl(\dfrac{3}{2}\biggr)^3=\biggl(\dfrac{3^3}{2^3}\biggr)=\dfrac{27}{8}\)

All'interno dell'insieme Q dei numeri razionali valgono tutte le cinque proprietà delle potenze.