Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri razionali

Operazioni numeri razionali

In questa lezione ci occuperemo delle operazioni con i numeri razionali, addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione e relative proprietà.

Lezione

Operazioni con i numeri razionali

Addizione e sottrazione

Definizione: La somma o la differenza di due numeri razionali espressi da frazioni con lo stesso denominatore è il numero espresso dalla frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma o la differenza dei numeratori.

Esempio: \( \dfrac{4}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{4+2}{5}=\dfrac{6}{5}\)

Se i numeri razionali sono espressi da frazioni che hanno denominatori diversi, si utilizza la definizione precedente dopo aver ridotto le frazioni al minimo denominatore comune.

Esempio: \( \dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{15}\)
Troviamo il mcm che è pari a 30. Otteniamo:
\(\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{30}\)
\(\dfrac{2}{15}=\dfrac{4}{30}\)
Sommiamo i termini e otteniamo: \( \dfrac{5}{30}+\dfrac{4}{30}=\dfrac{9}{30}\)

L’addizione e la sottrazione sono operazioni interne in Q.

In Q valgono tutte le proprietà dell’addizione (commutativa, associativa, esistenza dell’opposto) e della sottrazione (invariantiva) e vale la prima legge di monotonia sia per le uguaglianze, sia per le disuguaglianze. Inoltre, l’elemento neutro per l’addizione in Q è 0, come già si verificava nell’insieme dei numeri interi Z.

La moltiplicazione

Definizione: Il prodotto di due numeri razionali espressi da frazioni è il numero espresso dalla frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei numeratori.

Esempio: \( \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{8}{25}\)

Se si effettua una moltiplicazione tra una frazione e un numero intero, quest'ultimo si considera con denominatore pari a 1.

Esempio: \( \dfrac{4}{5}\cdot 2=\dfrac{8}{5}\)

Valgono tutte le proprietà della moltiplicazione e vale la seconda legge di monotonia sia per le uguaglianze che per le disuguaglianze

Definiamo reciproco del numero razionale espresso dalla frazione n/d il numero espresso dalla frazione d/n ottenuto scambiando numeratore e denominatore.

Il numero 0 non ha reciproco, mentre la moltiplicazione di un numero razionale per il suo reciproco dà come prodotto 1.

Definizione: Per ogni numero razionale esiste il reciproco, ossia quel numero che moltiplicato per quello di partenza da come risultato 1.

La divisione

Definizione: Il quoziente di due numeri razionali espressi da frazioni, con il secondo diverso da 0, è uguale al prodotto del primo per il reciproco del secondo.

Esempio: \( \dfrac{4}{5} : \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{2}=\dfrac{4\cdot 5}{5\cdot 2}=\dfrac{20}{10}\)

E' possibile nell'insieme dei numeri razionali effettuare sempre la divisione tranne nel caso in cui il divisore sia pari a 0.

Valgono nell'insieme dei numeri razionali le proprietà invariantiva e distributiva a sinistra rispetto all'addizione.

La potenza

Definizione: La potenza n-esima di una frazione \( \dfrac{a}{b}\) è la frazione che ha per numeratore \(a^n\) e per denominatore \(b^n\).

Esempio: \(\biggl(\dfrac{3}{2}\biggr)^3=\biggl(\dfrac{3^3}{2^3}\biggr)=\dfrac{27}{8}\)

All'interno dell'insieme Q dei numeri razionali valgono tutte le cinque proprietà delle potenze.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
30 Espressioni con addizioni e sottrazioni numeri razionali \( 3-\dfrac{1}{2}+\biggl[\dfrac{3}{4}+\biggl(\dfrac{1}{5}-\dfrac{6}{10}\biggr)\biggr]-1\) \( \dfrac{37}{20}\) 3 Vai
31 Espressioni con addizioni e sottrazioni numeri razionali \( -1+\biggl[\dfrac{1}{2}-\biggl(\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{5}\biggr)\biggr]+2\) \( dfrac{22}{15}\) 3 Vai
32 Espressioni con addizioni e sottrazioni numeri razionali \( \biggl(\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{3}\biggr)\cdot \biggl(\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{3}\biggr)\) \(\dfrac{2}{9}\) 3 Vai
33 Espressioni con addizioni e sottrazioni numeri razionali \(\biggl(\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{6}\biggr)\cdot \biggl(\dfrac{1}{7}-4\biggr)\) \( -\dfrac{9}{2}\) 3 Vai
34 Espressioni con addizioni e sottrazioni numeri razionali \( \dfrac{2}{5}\cdot \biggl(-\dfrac{15}{4}\biggr)\cdot \biggl(-\dfrac{2}{3}\biggr)\) 1 3 Vai
35 Espressioni con moltiplicazioni e divisioni numeri razionali \( \biggl[\biggl(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{5}\biggr):\biggl(3-\dfrac{1}{7}\biggr)\biggr]\cdot \biggl[\biggl(\dfrac{25}{28}\cdot \dfrac{7}{2}\biggr):\dfrac{1}{8}\biggr]\) \( -\dfrac{1}{2}\) 3 Vai
36 Espressioni con moltiplicazioni e divisioni numeri razionali \( \biggl[\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5}\biggr):\biggl(\dfrac{2}{3}-1\biggr)\biggr]:\biggl[\biggl(\dfrac{1}{10}:\dfrac{3}{4}\biggr)\cdot \dfrac{1}{2}\biggr]\) \( \dfrac{21}{2}\) 4 Vai
37 Espressioni con frazioni a termini frazionari \( \dfrac{\dfrac{3}{7}\cdot \biggl(-\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}\biggr)}{\dfrac{1}{14}-\biggl(\dfrac{2}{7}-\dfrac{1}{4}\biggr)}\cdot \biggl(\dfrac{5}{9}-1\biggr)\) \( \dfrac{8}{5}\) 5 Vai
38 Espressioni con frazioni a termini frazionari \( \dfrac{-\biggl(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\biggr)}{-\dfrac{3}{5}-\biggl(-\dfrac{2}{3}\biggr)}+\dfrac{\dfrac{5}{6}+\biggl(-\dfrac{1}{3}\biggr)}{-\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}}\) \( -\dfrac{5}{2}\) 5 Vai
39 Espressioni con le potenze numeri razionali \( \biggl(-\dfrac{3}{5}\biggr)^8:\biggl(1-\dfrac{2}{5}\biggr)^5\cdot \biggl[\biggl(2+\dfrac{1}{2}\biggr)^2\cdot \dfrac{5}{2}\biggr]-1\) \( \dfrac{19}{8}\) 4 Vai
40 Espressioni con le potenze numeri razionali \( \biggl(2-\dfrac{14}{9}\biggr)^2:\biggl(-\dfrac{2}{3}\biggr)-\biggl(2-\dfrac{5}{3}\biggr)^4:\dfrac{1}{27}-\dfrac{2}{9}\) \( -\dfrac{1}{9}\) 4 Vai
41 Problemi con le frazioni Ho portato in banca i \( \dfrac{5}{8}\) di una somma guadagnata e ho trattenuto il resto per spese immediate che ammontano a € 915. Quale somma avevo guadagnato? € 2440 3 Vai
42 Problemi con le frazioni Roberta compra un'automobile che costa € 16500. Al momento dell'acquisto versa i \( \dfrac{6}{11}\) del prezzo e il resto a rate mensili. Quanto deve versare ogni mese se vuole estinguere il pagamento in 30 rate? € 250 4 Vai

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