Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    La parabola

Parabola - definizioni

In questa lezione introdurremo la parabola fornendo le definizioni fondamentali.

Lezione

Parabola - definizioni

Assegnati nel piano un punto F e una retta d, si chiama parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d.

Il punto F è il fuoco, la retta d viene detta direttrice. La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice è detta asse della parabola. Il punto V in cui la parabola interseca il suo asse è detto vertice della parabola. L'asse della parabola è anche asse di simmetria della curva.

Parabola con asse coincidente con asse y e vertice nell'origine

Determiniamo l'equazione delle generica parabola avente asse coincidente con asse y e vertice nell'origine degli assi. Il fuoco F ha coordinate F(0;f). L'equazione della direttrice è pertanto: y=-f

Posto \( a=\dfrac{1}{4f}\) l'equazione della parabola diventa: \( y=ax^2\)

Le coordinate del fuoco sono: \(F\biggl(0;\dfrac{1}{4a}\biggr)\); l'equazione della direttrice invece: \( y=-\dfrac{1}{4a}\).

Concavità della parabola

La concavità della parabola è legata al segno del coefficiente del termine di secondo grado a. Infatti, data la parabola di equazione: \( y=ax^2\), essa se a > 0 ha fuoco sul semiasse positivo delle y e volge la concavità verso l'alto. Se a < 0 ha fuoco sul semiasse negativo delle y e volge la concavità verso il basso. Se a = 0 si ottiene una parabola degenere. Per un maggiore dettaglio vi invitiamo a visionare la lezione video.

Se a > 0, all'aumentare di a diminuisce l'apertura della parabola. Se invece il coefficiente a è negativo, l'apertura della parabola diminuisce all'aumentare del valore assoluto di a.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
781 Determina l'equazione della parabola, dato fuoco e direttrice F(0;3), d:y=-3 3 Vai
782 Determina l'equazione della parabola, dato fuoco e direttrice \( F\biggl(0;\dfrac{1}{3}\biggr)\), \(d: y=-\dfrac{1}{3}\) 3 Vai
783 Equazione della parabola dato fuoco e vertice Determina l'equazione di una parabola che ha per asse l'asse y, il vertice nell'origine degli assi e il fuoco nel punto \( F\biggl(0;\dfrac{5}{2}\biggr)\) \( y=\dfrac{1}{10}x^2\) 3 Vai
784 Equazione della parabola dato vertice e direttrice Una parabola ha vertice nell'origine, asse coincidente con l'asse y e direttrice che passa per il punto \( \biggl(0;\dfrac{7}{4}\biggr)\). Scrivi l'equazione della parabola e le coordinate del fuoco \( y=-\dfrac{1}{7}x^2; F\biggl(0;-\dfrac{7}{4}\biggr)\) 3 Vai
785 Equazione della parabola dato fuoco Una parabola di equazione \(y=ax^2\) ha fuoco nel punto F(0;5). Quanto vale il coefficiente a? \( \dfrac{1}{20}\) 3 Vai
786 Rappresenta la parabola e trova fuoco e direttrice \( y=\dfrac{3}{2}x^2\) 3 Vai
787 Rappresenta la parabola e trova fuoco e direttrice \( y=-4x^2\) 3 Vai
788 Equazione della parabola nota direttrice e appartenenza punti Trova per quale valore di a la parabola di equazione \( y=ax^2\) ha direttrice di equazione y=-2 e rappresentala graficamente. Stabilisci se i punti A(-1;8) e \( B\biggl(2;\dfrac{1}{2}\biggr)\) appartengono alla parabola \( \dfrac{1}{8}\) 3 Vai
789 Concavità parabola nota distanza fuoco Nell'equazione \( y=ax^2\) determina per quale valore di a si ha una parabola con la concavità rivolta verso il basso e con il fuoco che ha distanza da O(0;0) uguale a \( \dfrac{2}{3}\) \( -\dfrac{3}{8}\) 3 Vai
790 Concavità parabola e parametro Determina per quali valori di a la parabola di equazione \( y=(2a-4)x^2\) ha concavità rivolta verso l'alto e disegna la parabola che si ottiene per \( a=\dfrac{7}{2}\) a>2 3 Vai

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