• Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Geometria analitica nello spazio

Piano e sua equazione

In questa lezione ci occuperemo delle proprietà e delle caratteristiche di un piano nello spazio

Lezione

Piano e sua equazione

Equanzione generale del piano

Consideriamo un piano generico \( \alpha\) nello spazio cartesiano. Preso un punto \( P_0\) su \(\alpha\), esiste una sola retta r passante per il punto perpendicolare al piano. Analogamente, dati un punto e una retta r nello spazio, esiste un unico piano passante per il punto e perpendicolare alla retta. Se assiciamo alla retta r un vettore \( \vec{n}\) con stessa direzione di r, possiamo dire che, dati un punto \( P_0(x_0;y_0;z_0)\) e un vettore \( \vec{n}(a;b;c)\) non nullo, è univocamente determinato il piano passante per il punto e perpendicolare a \( \vec{n}\), che viene detto vettore normale al piano. Dunque l'equazione del piano passante per \( P_0(x_0;y_0;z_0)\) e avente vettore normale \( \vec{n}(a;b;c)\) non nullo è:

\( a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\) da cui \( ax+by+cz+d=0\)

definita equazione generica del piano in forma cartesiana.

I coefficienti a,b,c di x,y e z, che sono le componenti di \( \vec{n}\), vengono detti parametri direttori della direzione normale al piano, mentre d è un generico numero reale dato da \( -ax_0-by_0-cz_0\).

Casi particolari

I) Se d=0, il piano passa per l'origine

II) Se nell'equazione ax+by+cz+d=0 una variabile ha coefficiente 0, il piano è parallelo all'asse coordinato relativo a tale variabile e perciò perpendicolare al piano individuato dagli assi coordinati relativi alle altre due variabili

III) Se l'equazione generale contiene una sola variabile, cioè due variabili hanno coefficiente 0, il piano è parallelo agli assi relativi a quelle variabili, quindi è parallelo al piano coordinato che tali assi definiscono. In particolare:

  • x=0, piano Oyz; x=k, piano parallelo al piano Oyz
  • y=0, piano Oxz; y=k, piano parallelo al piano Oxz
  • z=0, piano Oxy; z=k, piano parallelo al piano Oxy

Piano passante per tre punti

Sappiamo che tre punti non allineati nello spazio individuano uno e un solo piano. Dati tre punti A,B,C possiamo scrivere l'equazione del piano passante per A,B e C, considerando l'equazione generale del piano e imponendo il passaggio per i tre punti. Se i tre punti non sono allineati, esistono infiniti piani passanti per A,B e C e sono tutti i piani del fascio passante per la retta AB.

Posizione reciproca di due piani

Due piani nello spazio possono essere paralleli e distinti, paralleli e coincidenti o incidenti in una retta e perpendicolari quando intersecandosi formano quattro dietri retti.

Per analizzare la posizione reciproca di due piani, mettiamo a sistema le loro equazioni:

\( \begin{cases} ax+by+cz+d=0 \\[2ex] a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}\)

  • Se \( \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\neq \dfrac{d}{d'}\), il sistema è impossibile: i due piani sono paralleli e distinti
  • Se \( \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}=\dfrac{d}{d'}\), il sistema è verificato da ogni terna (x;y;z) che soddisfa una delle due equazioni: i due piani coincidenti.
  • Negli altri casi il sistema ammette infinite soluzioni, tutte appartenenti a una retta: i due piani sono incidenti in quella retta

Due piani sono paralleli se e solo se i loro vettori normali \(\vec{n}\) e \(\vec{n'}\) sono paralleli \( \vec{n}=k\vec{n'}\) con k reale. Se a',b',c' sono diversi da 0, possiamo scrivere: \( \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\). Se \( \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}=\dfrac{d}{d'}\), i piani sono coincidenti.

Due piani sono perpendicolari se e solo se il prodotto scalare tra i loro vettori normali \(\vec{n}\) e \(\vec{n'}\) è nullo. Se a',b',c' sono diversi da 0, possiamo scrivere: \( aa'+bb'+cc'=0\).

Distanza di un punto da un piano

Dati il piano \(\alpha\) di equazione ax+by+cz+d=0 e il punto \( A(x_A;y_A;z_A)\), la distanza di A da \(\alpha\) è pari a:

\( d(A;\alpha)=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

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