Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Esponenziali

Potenze ad esponente reale

In questa lezione ci occuperemo delle potenze con esponente reale e delle loro proprietà.

Lezione

Potenze con esponente reale

E' noto che vi siano dei numeri come ad esempio \( \sqrt{2}\) detti irrazionali, ovvero decimali illimitati non periodici. Essi possono essere approssimati per eccesso o difetto in base al numero di cifre scelte. Sappiamo però che nessuna di queste approssimazioni sarà perfettamente identica al numero considerato.

Prendiamo ora in considerazione una potenza ad esponente reale \( 3^{\sqrt{2}}\), tutte le potenze ottenute con approssimazione dell'esponente si avvicineranno a quella data ma non la raggiungeranno in alcun caso.

In generale, si definisce la potenza \( a^x\) di un numero reale a > 1, che abbia esponente reale x > 0, come quell'unico numero reale:

  • maggiore di tutte le potenze di a con esponenti razionali che approssimano x per difetto
  • minore di tutte le potenze di a con esponenti razionali che approssimano x per eccesso

Stesso discorso può esser fatto per le potenze con base compresa tra 0 e 1 solo che le considerazioni sono invertite dato il valore della base. Infatti, la potenza \( a^x\) di un numero reale 0 < a < 1, che abbia esponente reale x > 0, come quell'unico numero reale:

  • maggiore di tutte le potenze di a con esponenti razionali che approssimano x per eccesso
  • minore di tutte le potenze di a con esponenti razionali che approssimano x per difetto

Vi sono poi dei casi particolari:

  • \( 1^x=1\) per qualunque valore di x
  • \( 0^x=0\) per qualunque valore di x
  • \( a^0=1\) per qualunque valore reale a positivo
  • \( a^{-r}=\biggl(\dfrac{1}{a}\biggr)=\dfrac{1}{a^r}\) per qualunque coppia di valori reali a ed r

Le potenze con base zero o con base negativa non si definiscono.

Proprietà delle potenze con esponente reale

  1. Prodotto di potenze aventi stessa base: \( a^x \cdot a^y=a^{x+y}\)
  2. Quoziente di potenze aventi stessa base: \( a^x : a^y=a^{x-y}\)
  3. Potenza di potenza: \( (a^x)^y=a^{x\cdot y}\)
  4. Prodotto di potenze di uguale esponente: \( a^x\cdot b^x=(a\cdot b)^x\)
  5. Quoziente di potenze di uguale esponente: \( a^x : b^x=(a:b)^x\)

All'aumentare dell'esponente reale x, la potenza \( a^x\):

  • aumenta se la base è maggiore di 1 infatti: \( a > 1 -> x_1 < x_2 -> a^{x_1} < a^{x_2}\)
  • diminuisce se la base è compresa tra 0 e 1 infatti: \( 0 < a < 1 -> x_1 < x_2 -> a^{x_1} > a^{x_2}\)

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