Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    I polinomi

Prodotti notevoli

In questa lezione ci occuperemo dei prodotti notevoli, prodotto tra somma e differenza di binomi, quadrato di un binomio, cubo di un binomio, quadrato di un trinomio, triangolo di Tartaglia.

Lezione

I prodotti notevoli

Somma di due monomi per la loro differenza

Indichiamo con A e B due monomi generici e consideriamo il prodotto della loro somma per la loro differenza: (A + B)(A - B). Quali che siano i monomi A e B, il risultato è sempre del tipo \(A^2 - B^2\) : \((A + B)(A - B) = A^2 - AB + AB - B^2 = A^2 - B^2\).

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è il binomio costituito dalla differenza fra il quadrato del primo e il quadrato del secondo.

\((A + B)(A - B) = A^2 - B^2\)

Quadrato di un binomio

Dati due monomi A e B consideriamo la seguente uguaglianza: \( (A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+AB+B^2=A^2+2AB+B^2\)

Il quadrato di un binomio è un trinomio che ha come termini il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato del secondo.

\( (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)

Quadrato di un trinomio

Dati tre monomi A, B e C consideriamo la seguente uguaglianza: \( (A+B+C)^2=(A+B+C)(A+B+C)=A^2+AB+AC+BA+B^2+BC+CA+CB+C^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC\)

Il quadrato di un trinomio è un polinomio che ha come termini i quadrati dei tre termini e il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue.

\( (A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC\)

Cubo di un binomio

Dati due monomi A e B consideriamo la seguente uguaglianza: \( (A+B)^3=(A+B)(A+B)(A+B)=(A^2+2AB+B^2)(A+B)=A^3+A^2B+2A^2B+2AB^2+AB^2+B^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^2\)

Il cubo di un binomio è un quadrinomio che ha come termini il cubo del primo termine, il triplo del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo del primo termine per il quadrato del secondo, il cubo del secondo termine.

La potenza di un binomio \( (A+B)^n\)

Potremmo continuare a calcolare le altre potenze di un binomio utilizzando quelle già ottenute. Per esempio: \((A + B)^4 = (A + B)^3(A + B)\). Esiste però un metodo pratico per conoscere i coefficienti dello sviluppo delle potenze di binomi, basato su una particolare disposizione triangolare di numeri. Questa rappresentazione si chiama triangolo di Tartaglia e fornisce i coefficienti dello sviluppo delle potenze dei binomi del tipo a + b.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
75 Prodotto somma di due monomi per la loro differenza \( (6a+b)(6a-b)\); \( (x+3)(x-3)\); \( (xy+1)(xy-1)\); \( (-a+3)(-a-3)\); 3 Vai
76 Prodotto somma di due monomi per la loro differenza \( 3x(x+2)-(x-1)-(x+3)(x-3)-2x^2\) \( 5x+10\) 4 Vai
77 Prodotto somma di due monomi per la loro differenza \( 3a^2+(2a-5b)(2a+5b)-b(a-3b)+22b^2+ab\) \( 7a^2\) 4 Vai
78 Prodotti notevoli: quadrato di binomio \( -2+3y)^2\); \( (-x+8)^2\); \( \biggl(-a^3-\dfrac{1}{2}\biggr)^2\) 3 Vai
79 Prodotti notevoli: quadrato di binomio \( (1-2x)^2+(x+2)^2-5(x^2-2)\) 15 4 Vai
80 Prodotti notevoli: quadrato di binomio \( \biggl(\dfrac{1}{2}-a\biggr)^2-3\biggl(a-\dfrac{1}{2}\biggr)\biggl(a+\dfrac{1}{2}\biggr)+2(a-1)^2\) \( 3a-5\) 4 Vai
81 Prodotti notevoli: quadrato di binomio \( (y^2-x)^2+y^2(2x-y^2)-(-x-3)^2\) \( -9-6x\) 4 Vai
82 Quadrato di trinomio \( (-a^2-b^2-2)^2\); \((x^3y-3xy^2+1)^2\) 3 Vai
83 Quadrato di trinomio \( (x+a+2)^2-(x+a)^2-4(2+x+a)\) -4 4 Vai
84 Quadrato di trinomio \( (a+1+2y)^2-(a-1)(a+1)-(1+2y)^2-2a\) 1+4ay 4 Vai
85 Cubo di binomio \( (x-2)^3\); \( (3a^6b^9+2)^3\) 3 Vai
86 Cubo di binomio \( a^3-(-b)^3-(a+b)^3-\dfrac{1}{3}a(3b+1)(1-3b)\) \( -3a^2b-\dfrac{1}{3}a\) 4 Vai
87 Espressioni con i prodotti notevoli \( (2a-b)^2-(3a+b)(a-2b)+5a^2-ab\) \( 6a^2+3b^2\) 4 Vai
88 Espressioni con i prodotti notevoli \( (x+y)^2-2y(x-y)-(x+y)(y-x)\) \( 2x^2+2y^2\) 4 Vai
89 Espressioni con i prodotti notevoli \( (a^2+b^2)(a^2-b^2)-(a^2+b^2)^2+2a^2(a^2+b^2)\) \( 2a^4-2b^4\) 4 Vai
90 Espressioni con i prodotti notevoli \( (x+1)^3+3(x+1)^2+3(x+1)+1 \( (x+2)^3\) 4 Vai

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