Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    I polinomi

Proprietà polinomi

In questa lezione ci occuperemo delle proprietà dei polinomi, fornendo la definizione di polinomio, del grado di un polinomio e di polinomio ridotto in forma normale.

Lezione

Proprietà dei polinomi

Non sempre l’addizione fra monomi ha come risultato un monomio. Per esempio, \(3a + 2b + 5a - 6b = 8a - 4b\), e 8a - 4b non è un monomio.

Si chiama polinomio ogni somma algebrica di monomi.

Ogni monomio può essere visto come la somma algebrica di se stesso con il monomio nullo. Per esempio: \( ab^2c = ab^2c + 0\). Quindi ogni monomio è un polinomio. In particolare, ogni numero è un polinomio. 0, oltre che monomio nullo, è considerato anche polinomio nullo. I monomi che compongono un polinomio sono i termini del polinomio.

Un polinomio può contenere monomi simili. Per esempio: \( 6a^4b^2 - 3a^3b^5 + 2a^4b^2\).

In casi come questo si sommano i monomi simili. Il polinomio che si ottiene, \( 8a^4b^2 - 3a^3b^5\),si dice ridotto a forma normale (o semplicemente ridotto).

Due polinomi ridotti a forma normale, e non nulli, sono uguali quando i monomi del primo polinomio sono uguali ai monomi del secondo polinomio, indipendentemente dall’ordine in cui sono scritti. Per esempio, 2a + b e b + 2a sono polinomi uguali. I polinomi ridotti a forma normale con 2, 3 e 4 termini hanno nomi differenti. Si chiamano, rispettivamente, binomi, trinomi e quadrinomi.

Per esempio: \(b^2 - 3ab^3\) è un binomio

\( a^3+b^2+c\) è un trinomio

\( 3b^3 - c^2 + 3a + 1\) è un quadrinomio.

Grado di un polinomio ridotto

Per definire il grado di un polinomio, lo si riduce a forma normale, poi si prende in esame il grado dei singoli monomi da cui è formato.

Il grado di un polinomio ridotto è il grado maggiore fra i gradi dei suoi termini.

Inoltre, il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il maggiore dei gradi dei suoi termini rispetto a tale lettera.

Prendiamo il polinomio \( a^3bc - 6ab\) è un polinomio di quinto grado.

Un polinomio ridotto è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. Esempio: \( 4ab^2 + 2a^2b + c^3\)

Un polinomio è ordinato rispetto a una lettera se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera siano in ordine crescente o decrescente. Esempio: \( 3a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3\) è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di a.

Un polinomio è completo rispetto a una lettera se per tale lettera presenta tutte le potenze, dal grado massimo fino al grado 0. Il termine di grado 0 di un polinomio, ossia quello in cui non compare nessuna lettera, viene detto termine noto. Esempio: \( 3a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 + 2\).

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
63 Riduzione a forma normale di polinomi \( 5b^2-2+b^2-c\); \(\dfrac{3}{5}x^5y^6+x^4-2y^2\); \(\dfrac{1}{2}a^2b^3c^4-\dfrac{1}{4}a^2b^3+c^4\); \( \dfrac{1}{2}ax^2+bx^2-\dfrac{2}{3}ax^2\); \( 6a^2x-2a^2+3a^2x+a^2x-a^2\); \( 8ab-3a^2+4a-b+6a^2-9ab+ab\); 3 Vai
64 Determina il grado di un polinomio \( a+b+1\); \( -x^2+ax+7\) 3 Vai

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