Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Formule goniometriche

Prostaferesi e Werner

In questa lezione ci occuperemo delle formule di Prostaferesi e di Werner.

Lezione

Prostaferesi e Werner

Le formule di prostaferesi

Le formule di prostaferesi ci consentono di trasformare la somma o la differenza di due funzioni seno o coseno in un prodotto di funzioni seno o coseno. Le elenchiamo di seguito:

\( sen(p)+sen(q)=2sen\biggl(\dfrac{p+q}{2}\biggr)cos\biggl(\dfrac{p-q}{2}\biggr)\)

\( sen(p)-sen(q)=2cos\biggl(\dfrac{p+q}{2}\biggr)sen\biggl(\dfrac{p-q}{2}\biggr)\)

\( cos(p)+cos(q)=2cos\biggl(\dfrac{p+q}{2}\biggr)cos\biggl(\dfrac{p-q}{2}\biggr)\)

\( cos(p)-cos(q)=-2sen\biggl(\dfrac{p+q}{2}\biggr)sen\biggl(\dfrac{p-q}{2}\biggr)\)

Le formule di Werner

Le formule di Werner risolvono il problema inverso rispetto a quello delle formule di prostaferesi, cioè permettono di trasformare espressioni contenenti prodotti di funzioni seno e coseno in somme o differenze di funzioni seno e coseno.

Le elenchiamo di seguito:

\( sen(\alpha)cos(\beta)=\dfrac{1}{2}[sen(\alpha+\beta)+sen(\alpha-\beta)]\)

\( cos(\alpha)cos(\beta)=\dfrac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]\)

\( sen(\alpha)sin(\beta)=\dfrac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]\)

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
1755 Calcola le seguenti somme e differenze \( cos{105°}-cos{15°}\) \( -\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) 3 Vai
1756 Trasforma in prodotto le somme \( \dfrac{\sqrt{2}}{2}-sin{75°}\) \( -sin{15°}\) 4 Vai
1757 Trasforma in prodotto le somme \( sin{2\alpha}+sin{6\alpha}\) 4 Vai
1758 Trasforma in prodotto le somme \( cos{2\alpha}+sin{8\alpha}\) 6 Vai
1759 Trasforma in prodotto le somme \( sin{5\alpha}-sin{4\alpha}+sin{3\alpha}\) 6 Vai
1760 Risoluzione espressioni \( \dfrac{sin(60°+\alpha)+sin(60°-\alpha)}{cos{3\alpha}+cos{5\alpha}}\) 3 Vai
1761 Risoluzione espressioni \( \dfrac{cos{2\alpha}+cos{4\alpha}+cos{6\alpha}}{sin{2\alpha}+sin{4\alpha}+sin{6\alpha}}\) \( cot{4\alpha}\) 6 Vai
1762 Traccia il grafico della funzione \( y=\dfrac{sin{9x}-sin{x}}{2cos{5x}}\) 4 Vai
1763 Trasforma in somme i prodotti \( cos{7\alpha}cos{5\alpha}\) 4 Vai
1764 Trasforma in somme i prodotti \( sin{6x}cos{2x}\) 4 Vai
1765 Risoluzione espressioni \( \dfrac{(sin{\alpha}+cos{\alpha})^2-sin{2\alpha}}{(csc{\alpha}+cot{\alpha})^2}-\dfrac{1-cos{\alpha}}{1+cos{\alpha}}\) 0 7 Vai
1766 Risoluzione espressioni \( \dfrac{sin(\alpha+\beta)cos{\beta}-sin{\beta}cos(\alpha+\beta)}{cos(\alpha-\beta)cos{\beta}-sin{\beta}sin(\alpha-\beta)}\) \( tan{\alpha}\) 6 Vai
1767 Risoluzione espressioni \( \dfrac{cos{3\alpha}+cos{4\alpha}+cos{5\alpha}}{sin{3\alpha}+sin{4\alpha}+sin{5\alpha}}\) \( cot{4\alpha}\) 7 Vai
1768 Risoluzione espressioni \( \dfrac{sin(60°+\alpha)\cdot sin(60°-\alpha)}{1+cos{2\alpha}}\) 4 Vai
1769 Risoluzione espressioni \( \dfrac{tan\biggl(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\biggr)tan\biggl(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\biggr)-1}{tan\biggl(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\biggr)+tan\biggl(\dfrac{3}{4}\pi+\alpha\biggr)}\) 0 4 Vai
1770 Risoluzione espressioni \( (cos{\alpha}-sin{\alpha})\cdot \dfrac{cos{2\alpha}}{cos{\alpha}+sin{\alpha}}+2sin{2\alpha}\) 4 Vai
1771 Verifica l'identità \( cos{\dfrac{5}{3}\alpha}sin{\dfrac{\alpha}{3}}=sin{\alpha}cos{\alpha}-sin{\dfrac{2}{3}\alpha}cos{\dfrac{2}{3}\alpha}\) 5 Vai
1772 Verifica l'identità \( \dfrac{sin{3\alpha}-\biggl[cos\biggl(\dfrac{3}{2}\pi-\alpha\biggr)\biggr]^3}{tan{\dfrac{\alpha}{2}}-tan{\alpha}}=-3cos^3{\alpha}(1+cos{\alpha})\) 6 Vai
1773 Verifica l'identità \( tan^2{\alpha}+2tan{\alpha}=\dfrac{sin{\dfrac{\pi}{2}+2sin{2\alpha}-cos{2\alpha}}{1+cos{2\alpha}}\) 7 Vai
1774 Traccia il grafico della funzione \( y=cos^2{\dfrac{x}{2}}\cdot \dfrac{sin{x}}{1+cos{x}}\) 6 Vai
1775 Determina periodo della funzione \( y=\dfrac{2+4sin{x}}{cos{x}}\) \( 2\pi\) 5 Vai
1776 Determina periodo della funzione \( y=cos^2{4x}-sin^2{4x}\) \( \dfrac{\pi}{4}\) 4 Vai
1777 Determina periodo della funzione \( y=\dfrac{sin{x}-cos{x}}{cos{8x}-cos{4x}}\) 6 Vai
1778 Determina periodo della funzione \( y=sin^2{x}+1\) \( \pi\) 5 Vai
1779 Determina k per ottenere periodo T \( y=tan{k\dfrac{x}{2}}\), \( T=\dfrac{\pi}{3}\) 6 4 Vai
1780 Determina k per ottenere periodo T \( y=sin^2{kx}\), \( T=\dfrac{\pi}{2}\) 2 6 Vai
1781 Problemi riepilogo formule goniometriche Determina le equazioni degli asintoti dell'iperbole di equazione \( 16x^2-9y^2=144\) e la tangente dell'angolo acuto \( \alpha\) da essi formato. Calcola poi \( sin{\alpha}\), \( cos{\alpha}\), \( tan{\dfrac{\alpha}{2}}\) 7 Vai
1782 Problemi riepilogo formule goniometriche Verifica che, se \( \alpha, \beta, \gamma\) sono gli angoli interni di un triangolo, valgono le seguenti identità:
\( sin(\alpha+\beta+2\gamma)+sin(\alpha+\beta)=0\), \( tan{\dfrac{\gamma}{2}}=\dfrac{sin{\alpha}-sin{\beta}}{cos{\beta}-cos{\alpha}}\)
7 Vai

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