Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri complessi

Radice n-esima unità

In questa lezione ci occuperemo delle radici n-esime dell'unità

Lezione

Radici n-esime dell'unità

Definiamo radice n-esima dell'unità, con n intero positivo, ogni numero complesso u tale che \( u^n=1\). La indichiamo con \( \sqrt[n]{1}\). Abbiamo: \( \sqrt[n]{1}=u -> u^n=1\).

Le radici n-esime dell'unità si ricavano dalla formula:

\( \sqrt[n]{1}=cos(\dfrac{2k\pi}{n})+isen(\dfrac{2k\pi}{n})\)

Radice quadrata

\( \sqrt{1}=cos(\dfrac{2k\pi}{2})+isen(\dfrac{2k\pi}{2})=cos(k\pi)+isen(k\pi)\)

Al variare di k si ottengono infiniti numeri, non tutti diversi tra loro. Vediamo i valori assunti per i diversi valori di k:

  • k=0 -> 1
  • k=1 -> -1
  • k=2 -> 1
  • k=3 -> -1
Notiamo che i valori trovati sono sempre 1 e -1. Essi si trovano sulla circonferenza goniometrica di centro O e raggio 1 e i loro argomenti sono: \( \alpha_0=0\) e \( \alpha_1=\pi\).

Radice cubica

\( \sqrt[3]{1}=cos(\dfrac{2k\pi}{3})+isen(\dfrac{2k\pi}{3})\)

Al variare di k si ottengono infiniti numeri, non tutti diversi tra loro. Vediamo i valori assunti per i diversi valori di k:

  • k=0 -> 1
  • k=1 -> \( -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
  • k=2 -> \( -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
  • k=3 -> 1
Notiamo che i valori trovati sono sempre tre: 1, \( -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\) e \( -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\). Essi si trovano sulla circonferenza goniometrica di centro O e raggio 1 e i loro argomenti sono: \( \alpha_0=0\) e \( \alpha_1=\dfrac{2}{3}\pi\) e \( \alpha_2=\dfrac{4}{3}\pi\).

Radici n-esime dell'unità

In generale, si dimostra che le radici n-esime distinte dell'unità sono n. Per calcolarle basta attribuire a k i valori 0,1,2,...n-1.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
2109 Radice n-esima unità n=6 4 Vai
2110 Radice n-esima unità Considera la radice cubica dell'unità \( u_3=cos{\dfrac{2\pi}{3}}+isin{\dfrac{2\pi}{3}}\) e la radice sesta dell'unità \( u_6=cos{\dfrac{\pi}{3}}+isin{\dfrac{\pi}{3}}\), esegui le operazioni e verifica che il risultato sia ancora una radice dell'unità:
\( \dfrac{u_3}{u_6}\)
4 Vai

Richiedi esercizio

Hai difficoltá con un esercizio riguardante questo argomento? Non perdere tempo e denaro in lunghe lezioni private. Acquista subito il pacchetto GIORNO ed in poche ore riceverai la video spiegazione del tuo esercizio. In piú potrai usufruire per 24 ore di tutte le lezioni e di tutti gli esercizi svolti presenti sul nostro sito.

Se sei cliente Tim, Vodafone o WindTre potrai pagare comodamente con il tuo smartphone. Inserendo il tuo numero telefonico riceverai un sms con un codice ed inserendo quel codice acquisterai il nostro servizio.

Acquista subito

Offerte

Puoi avere accesso a tutti i corsi, tutte le lezioni e gli esercizi, ai webinar ed avere due esercizi svolti al mese per un anno a soli 14,99€. Acquista subito questo pacchetto.

Puoi scegliere un periodo temporale inferiore pari ad un solo mese ed avere accesso a tutti i corsi, tutte le lezioni e gli esercizi, ai webinar ed avere due esercizi svolti a richiesta a soli 7,99€. Acquista subito

Puoi acquistare solo questo corso ed avrai accesso illimitato per un anno a soli 6,99€. Acquista subito

Webinar

Prova subito i nostri corsi gratuitamente

Il tuo carrello

Nome pacchetto Durata Totale
Prova Gratuita 2 giorni € 0.00
Totale € 0.00