Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri complessi

Radice n-esime numero complesso

In questa lezione ci occuperemo di calcolare le radici n-esime di un numero complesso

Lezione

Radici n-esime di un numero complesso

Dati il numero complesso z e il numero n intero positivo, la radice n-esima di z è ogni numero complesso w tale che \( w^n=z\).

\( \sqrt[n]{z}=w -> w^n=z\)

Le radici n-esime del numero complesso z possono rappresentarsi come segue:

\( \sqrt[n]{r(cos(\alpha)+isen(\alpha)}=\sqrt[n]{r}\biggl[cos\biggl(\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\biggr)+isen\biggl(\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\biggr)\biggr]\).

Per determinare le radici n-esime di un numero complesso \( r(cos(\alpha)+isen(\alpha))\), è sufficiente determinarne una qualunque e poi moltiplicare questa per le radici n-esime dell'unità.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
2111 Radice n-esima unità \( 16\biggl(cos{\dfrac{2\pi}{3}}+isin{\dfrac{2\pi}{3}}\biggr), 8\biggl(cos{\dfrac{\pi}{2}}+isin{\dfrac{\pi}{2}}\biggr)\), n=2 7 Vai
2112 Radice n-esima unità \( 8\biggl(cos{\dfrac{\pi}{2}}+isin{\dfrac{\pi}{2}}\biggr)\), n=3 7 Vai
2113 Calcola le seguenti radici e rappresentale nel piano di Gauss \( \sqrt{1+i\sqrt{3}}\); \( \sqrt{i}\); 4 Vai
2114 Calcola le seguenti radici e rappresentale nel piano di Gauss \( \sqrt[6]{64}\) 5 Vai
2115 Calcola le seguenti radici e rappresentale nel piano di Gauss \( \sqrt{-8-8\sqrt{3}i}\) 6 Vai
2116 Calcola le seguenti radici e rappresentale nel piano di Gauss \( \sqrt{(4i-3)(4i+3)}\) 7 Vai
2117 Risolvi in C le seguenti equazioni \( x^2-4x+13=0\) 4 Vai
2118 Risolvi in C le seguenti equazioni \( x^4+13x^2+36=0\) 6 Vai
2119 Risolvi in C le seguenti equazioni \( x^6+7x^3-8=0\) 8 Vai
2120 Risolvi in C le seguenti equazioni \( x^2-2ix+3=0\) 3i, i 4 Vai
2121 Risolvi in C le seguenti equazioni \( x^2+\dfrac{(2-i)^2-1+4i}{i}x+3=0\) 7 Vai
2122 Problemi in C a. Calcola, dopo averne opportunamente semplificato l'espressione, le soluzioni \( z_1, z_2, z_3\) dell'equazione \( (1+i)z^3=8\sqrt{2}i\), con z numero complesso
b. Calcola \( z_1^2+z_2^2+z_3^2\)
8 Vai
2123 Scrivi le equazioni di secondo grado note le radici \( z_1=-1-2i, z_2=3+i\) 4 Vai
2124 Scrivi le equazioni di secondo grado note le radici \( z_1=\sqrt{2}+i, z_2=\sqrt{2}-i\) 4 Vai
2125 Scrivi in forma algebrica i numeri complessi \( 4e^{i\dfrac{7\pi}{4}}\) 4 Vai
2126 Scrivi in forma algebrica i numeri complessi \( 24e^{i\dfrac{\pi}{6}}\) 4 Vai
2127 Scrivi in forma algebrica i numeri complessi \( e^{i+\pi i}\) 4 Vai
2128 Scrivi in forma esponenziale i numeri complessi \( -2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i\) 4 Vai
2129 Scrivi in forma esponenziale i numeri complessi -4 4 Vai
2130 Prodotto numeri complessi forma esponenziale \( 2e^{i\dfrac{4}{3}\pi}\cdot e^{i\dfrac{\pi}{3}}\cdot 6e^{i\dfrac{3}{2}\pi}\) 4 Vai
2131 Quoziente numeri complessi forma esponenziale \( e^{i\dfrac{5}{6}\pi}:\biggl(\dfrac{1}{2}e^{-i\dfrac{\pi}{6}}\biggr)\) 4 Vai
2132 Potenze numeri complessi forma esponenziale \( \biggl(\dfrac{1}{3}e^{i\dfrac{\pi}{2}}^4.\)
\( \biggl(2e^{i\dfrac{\pi}{8}\biggr)^2\)
\( \biggl(\dfrac{1}{2}e^{i\dfrac{2}{9}\pi}\biggr)^3\)
4 Vai
2133 Radici numeri complessi forma esponenziale \( \sqrt[4]{16e^{\dfrac{\pi}{2}i}}\) 4 Vai
2134 Espressioni numeri complessi forma esponenziale \( (e^{i\dfrac{\pi}{6}})^2 \cdot (e^{i\dfrac{2}{3}\pi})^3\cdot 2e^{i\pi}\) 6 Vai
2135 Espressioni numeri complessi forma esponenziale \( (e^{i\dfrac{\pi}{6}})^3\cdot e^{i\dfrac{\pi}{2}+2(e^{i\dfrac{\pi}{8}})^2\cdot e^{i\dfrac{3}{4}\pi}\) -3 6 Vai
2136 Espressioni numeri complessi forma esponenziale \( \dfrac{(\sqrt{3}e^{i\dfrac{\pi}{3}}\cdot 2e^{i\dfrac{\pi}{6}})^2}{e^i\dfrac{\pi}{6}}\) 7 Vai
2137 Risolvi in C le seguenti equazioni \( x^2-4i=0\) 4 Vai
2138 Operazioni numeri complessi forma esponenziale \( z_1=2e^{i\dfrac{\pi}{3}}\); \( z_2=4e^{i\dfrac{\pi}{4}}\)
\( z_1\cdot z_2\)
4 Vai
2139 Operazioni numeri complessi forma esponenziale \( z_1=5e^{i\dfrac{3}{4}\pi}; z_2=3e^{i\dfrac{\pi}{6}};\)
\( \dfrac{z_1}{z_2}\)
4 Vai
2140 Operazioni numeri complessi forma esponenziale \( z_1=\sqrt{3}e^{i\dfrac{\pi}{8}}; z_2=3e^{i\dfrac{\pi}{4}};\)
\( z_1^2\cdot z_2\)
5 Vai
2141 Operazioni numeri complessi forma esponenziale \( z_1=e^{i\dfrac{\pi}{6}}; z_2=e^{i\dfrac{\pi}{12}};\) \( \dfrac{z_1^3}{z_2^4}\) 5 Vai

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