Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri irrazionali

Radici n-esime

In questa lezione ci occuperemo delle radici ennesime, definendo le loro caratteristiche e le loro proprietà. Tratteremo inoltre lo studio del segno di un radicale

Lezione

La radice ennesima

Per la radice n‑esima dobbiamo distinguere i casi con n pari, analoghi alla radice quadrata, da quelli con n dispari, analoghi alla radice cubica.

La radice n-esima di un numero reale a, con n numero naturale e \( n\neq 0\):

  • Se \( a\geq 0\), è il numero reale \(b\geq 0\) la cui potenza con esponente n è uguale ad a
  • Se a<0 e n dispari, è il numero reale b<0 la cui potenza con esponente n è uguale ad a
  • Se a<0 e n pari, non esiste

La radice n-esima di a si indica con il simbolo \( \sqrt[n]{a}\), che si definisce radicale. Il numero n viene detto indice del radicale; il numero a si chiama radicando. Se il radicando è scritto sotto forma di potenza, l'esponente di tale potenza si definisce esponente del radicando.

Per la radice quadrata l'indice del radicale può essere omesso: \(\sqrt{5}\) è un modo diverso di scrivere \( \sqrt[2]{5}\). I radicali con indice 2 vengono detti radicali quadratici, quelli con indice 3 radicali cubici.

L'indice n è un numero naturale diverso da zero: \(\sqrt[0]{a} non ha significato, poichè nessun numero elevato a 0 dà 2. Per ogni n naturale diverso da 0 e per ogni a reale si ha:

  • \(\sqrt[1]{a}=a\) infatti \( a^1=a\)
  • \(\sqrt[n]{0}=0\) infatti \( 0^n=0\)
  • \(\sqrt[n]{1}=1\)

Esistono due proprietà:

  • Per la definizione di radice n-esima, \( \sqrt[n]{a}\) è quel numero che elevato a n dà per risultato a, quindi: \( (\sqrt[n]{a})^n=a\), con \( a\geq 0\) se n è pari.
  • Se n è dispari il segno - può essere portato fuori o dentro la radice: \( \sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\) e viceversa.

Le condizioni di esistenza di un radicale

Abbiamo osservato che in R \(\sqrt{a}\) esiste per ogni \( a\geq 0\), mentre \(\sqrt[3]{a}\) esiste sempre. Si ha che:

  • se n è pari, \( \sqrt[n]{a}\) esiste per ogni \( a\geq 0\): n pari, le condizioni d'esistenza è \( a\geq 0\)
  • se n è dispari, \( \sqrt[n]{a} esiste per ogni valore reale: n dispari, la proprietà vale per ogni valore reale

Se il radicando è un'espressione letterale, dobbiamo studiarne le condizioni d'esistenza al variare in R dei valori attribuiti alle lettere, tenendo in considerazione l'indice del radicale

Lo studio del segno del radicale

Per i valori che soddisfano le condizioni di esistenza, il radicale con indice n di un'espressione letterale:

  • è sempre positivo o nullo se n è pari
  • ha lo stesso segno del radicando se n è dispari

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
243 Determina le condizioni d'esistenza dei radicali \( \sqrt{-a}; \sqrt{a^2}; \sqrt[3]{a^5}; \sqrt[4]{-2x^2}\) 3 Vai
244 Determina le condizioni d'esistenza dei radicali \( \sqrt{ab}; \sqrt[3]{2a^3b^2}; \sqrt[4]{3a^2b}\) 3 Vai
245 Determina le condizioni d'esistenza dei radicali \( \sqrt{\dfrac{2a}{x}}; \sqrt{\dfrac{-y^3}{3}; \sqrt{\dfrac{-2}{x}\) 3 Vai
246 Determina le condizioni d'esistenza e il segno dei radicali \( \sqrt{2x-x^2}\) 0 < x < 2 4 Vai
247 Determina le condizioni d'esistenza e il segno dei radicali \( \sqrt{2x}+2\) \( x \geq 0\) 3 Vai
248 Determina le condizioni d'esistenza e il segno dei radicali \( \dfrac{\sqrt{x}}{x-2}\) x > 2 4 Vai

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