Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri complessi

Rappresentazione geometrica numeri complessi

In questa lezione ci occuperemo della rappresentazione geometrica dei numeri complessi

Lezione

Rappresentazione geometrica numeri complessi

Piano di Gauss

Un numero complesso è una coppia ordinata (a;b) di numeri reali. Possiamo immaginare il piano in cui si rappresenta l'insieme dei numeri complessi come composto da due assi: asse immaginario e asse reale. Questo piano prende il nome di piano complesso o piano di Gauss. I valori delle ascisse corrispondono a numeri reali e l'asse x è definito asse reale, mentre i valori delle ordinate corrispondono a numeri immaginari e l'asse y è definito asse immaginario.

Un numero complesso può esser visto come un vettore le cui componenti cartesiane sono la sua parte reale e la sua parte immaginaria. Ad ogni punto del piano è associato un solo vettore \( \vec{OP}\) ed esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i vettori nel piano di Gauss, che associa a ogni numero a+bi il vettore che ha per componenti cartesiane a e b, e viceversa.

Coordinate polari

Un vettore può essere rappresentato mediante due grandezze:

  • \(\alpha\): l'ampiezza dell'angolo orientato formato con il semiasse x positivo preso in senso antiorario
  • r: la distanza di P dall'origine, che rappresenta il modulo
Dunque un dato punto P può essere rappresentato sia dalla coppia (x;y) sia da \( (r;\alpha)\)

Le coordinate del tipo \([r;\alpha]\) sono definite coordinate polari, r è detto raggio vettore o modulo e \( \alpha\) è detto argomento o anomalia.

Conoscendo le coordinate polari di un punto \( P[r;\alpha]\), si possono ricavare le sue coordinate cartesiane(a;b). Ciò è possibile applicando il primo teorema dei triangoli rettangoli ottenendo: \( a=rcos(\alpha)\) e \( b=rsen(\alpha)\).

Allo stesso modo, possiamo ricavare le corrdinate polari se sono note quelle cartesiane utilizzando la seguente relazione: \( r=\sqrt{a^2+b^2}\) e \( \alpha: tan(\alpha)=\dfrac{b}{a}\).

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
2072 Rappresentazione geometrica dei numeri complessi Dati i seguenti numeri complessi, determina i loro coniugati e rappresenta entrambi nel piano di Gauss.
3+i, -2-i, -4+2i, 1-3i
3 Vai
2073 Rappresentazione geometrica dei numeri complessi Considera il numero z=2+i e rappresenta nel piano di Gauss: \( -z, \bar{z}, iz, z^{-1}\) 4 Vai
2074 Rappresentazione nel piano di Gauss le soluzioni della seguente disequazione \( |z|\leq 5\) 3 Vai
2075 Rappresentazione nel piano di Gauss le soluzioni della seguente disequazione \( 2<|z|<3\) 4 Vai
2076 Rappresentazione nel piano di Gauss le soluzioni della seguente disequazione Considera i numeri complessi \( z_1=2+4i, z_2=-2+2i\).
a. Calcola per quali valori reali di h e k risulta \( hz_1+kz_2=1+i\)
b. Determina i numeri complessi z=x+yi tali che \( |z-z_1|=|z-z_2|\) e rappresentali nel piano di Gauss
4 Vai
2077 Trasforma in coordinate cartesiane le coordinate polari \( P\biggl[6;\dfrac{5}{6}\pi\biggr], Q\biggl[1;\dfrac{3}{2}\pi\biggr], R\biggl[\dfrac{1}{2},2\pi\biggr]\) 4 Vai
2078 Trasforma in coordinate cartesiane le coordinate polari \( S\biggl[\dfrac{1}{4};\pi\biggr], T\biggl[3;\dfrac{4}{3}\pi\biggr], V\biggl[\dfrac{1}{3},-\dfrac{\pi}{3} \biggr]\) 3 Vai
2079 Trasforma in coordinate polari le coordinate cartesiane \( A\biggl(-\dfrac{1}{4};0\biggr), B(0; -\sqrt{3}), C\biggl(\dfrac{1}{4}; \dfrac{\sqrt{3}}{4}\biggr)\) 3 Vai
2080 Rappresenta vettore OP e determina le coordinate polari di P 5i 3 Vai
2081 Rappresenta vettore OP e determina le coordinate polari di P \( -\sqrt{3}-i\) 3 Vai

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