Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri irrazionali

Razionalizzazione denominatore

In questa lezione ci occuperemo della razionalizzazione del denominatore studiando con esempi ed esercizi ciascuno dei tre casi possibili.

Lezione

Razionalizzazione del denominatore di una frazione

Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in una equivalente che non ha radicali al denominatore. Ciò risulta utile nella somma di frazioni. Per razionalizzare il denominatore di una frazione si applica la proprietà invariantiva delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da 0. Analizziamo i casi più comuni.

Primo caso: Denominatore è un unico radicale
Se il denominatore contiene un radicale quadratico, basta moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale stesso. Esempio: \( \dfrac{6}{\sqrt{3}}\). Moltiplicando si ottiene: \( \dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}\)

Secondo caso: Denominatore è somma o differenza di due termini, dei quali almeno uno è un radicale quadratico
Esempio: \( \dfrac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{5}-4\sqrt{2}}{5-2}=\dfrac{4\sqrt{5}-4\sqrt{2}}{3}\)

Terzo caso: Il denominatore è la somma o la differenza di due radicali cubici
Se al denominatore compare la somma o differenza di due radicali cubici, usiamo la relazione: \( (a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)

Esempio: \( \dfrac{4}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}=\dfrac{4}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}\cdot \dfrac{\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3^2}}=\dfrac{4(\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3^2})}{3+2}=\dfrac{4(\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3^2})}{5}\)

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
294 Scomposizione in fattori di radicali \( 1+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}\) 3 Vai
295 Scomposizione in fattori di radicali \( 2+2\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}\) 4 Vai
296 Scomposizione in fattori di radicali \( \sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{2}-\sqrt{10}\) 3 Vai
297 Semplificazione di frazioni algebriche con radicali \( \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{\sqrt{2}}\)

\( \dfrac{\sqrt{5}+5}{1+\sqrt{5}}\)

\( \dfrac{3\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
4 Vai
298 Semplificazione di frazioni algebriche con radicali \( \dfrac{7+\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)

\( \dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)

\( \dfrac{a^2-3}{2a-\sqrt{12}}\)
4 Vai
299 Semplificazione di frazioni algebriche con radicali \( \dfrac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{7+\sqrt{7}}\)

\( \dfrac{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}{\sqrt{45}+9}\)

\( \dfrac{3+2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\)
4 Vai
300 Razionalizzazione dei denominatori \( \dfrac{1}{4\sqrt{2}}\)

\( \dfrac{3+\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}\)

\( \dfrac{7}{2\sqrt{7}}\)
4 Vai
301 Razionalizzazione dei denominatori \( \dfrac{3}{4\sqrt[3]{4}}\)

\( \dfrac{2}{\sqrt[3]{6}}\)

\( \dfrac{12}{\sqrt[5]{8}}\)
4 Vai
302 Razionalizzazione dei denominatori \( \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

\( \dfrac{2x}{\sqrt{3x}}\)

\( \dfrac{2x}{\sqrt{xy}}\)
4 Vai
303 Radicali qudratici doppi \( \sqrt{11+\sqrt{21}}\)

\( \sqrt{3+\sqrt{8}}\)
4 Vai
304 Radicali qudratici doppi \( \sqrt{7-\sqrt{40}}\)

\( \sqrt{6+\sqrt{27}}\)
3 Vai
305 Radicali qudratici doppi \( \sqrt{5-2\sqrt{6}}\)

\( \sqrt{7+3\sqrt{5}}\)
4 Vai
306 Risoluzione espressioni irrazionali \( \dfrac{3+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\) \( \dfrac{1}{2}\) 4 Vai
307 Risoluzione espressioni irrazionali \( \dfrac{\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{7-4\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}+2}\) \( -2\sqrt{5}\) 4 Vai
308 Risoluzione espressioni irrazionali \( \dfrac{7+2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{4}{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\) \( 2(1+\sqrt{6})\) 4 Vai
309 Risoluzione equazioni irrazionali \( \sqrt{3}x=\sqrt{12}\) 2 3 Vai
310 Risoluzione equazioni irrazionali \( \sqrt{5}x=2-x\) 4 Vai
311 Risoluzione equazioni irrazionali \( \sqrt{8}x-\sqrt{2}x=4\) 4 Vai
312 Risoluzione sistemi lineari irrazionali \(\begin{cases} x-y=\sqrt{3}-1 \\ x+y=\sqrt{3} \end{cases}\) 4 Vai
313 Risoluzione sistemi lineari irrazionali \(\begin{cases} x+2y=2\sqrt{2} \\ x+y=-\sqrt{2} \end{cases}\) 3 Vai
314 Risoluzione sistemi lineari irrazionali \(\begin{cases} x+\dfrac{\sqrt{3}y}{\sqrt{2}}=\sqrt{3} \\ \sqrt{3}x=1-\sqrt{2}y \end{cases}\) 4 Vai
315 Risoluzione disequazioni irrazionali \( \sqrt{2}x-3>x-(\sqrt{2}+1)\) \( x>\sqrt{2}\) 4 Vai
316 Risoluzione disequazioni irrazionali \( -\sqrt{3}x+x<\sqrt{3}+1\) \( x>-2-\sqrt{3}\) 4 Vai
317 Risoluzione disequazioni irrazionali \( \sqrt{5}x-\sqrt{5}>5+2\sqrt{5}(x-1)\) \( x<1-\sqrt{5}\) 4 Vai

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