Regola di Cartesio

È possibile conoscere il segno delle radici reali di un’equazione completa di secondo grado senza risolverla. Per farlo, introduciamo i concetti di variazione e di permanenza relativi al segno dei coefficienti dell’equazione. Dato un polinomio ordinato secondo una variabile:

• si ha una permanenza quando i coefficienti di un termine e del suo successivo sono concordi
• si ha una variazione quando sono discordi

Prendiamo in considerazione un polinomio: \( x^2+2x-5\), presenta una permanenza per i primi due termini e una variazione per secondo e terzo termine. Sapendo che \( s=-\dfrac{b}{a}\) e che \(p=\dfrac{c}{a}\), ricaviamo i segni delle soluzioni \( x_1 e x_2\).

Esaminiamo ciascuno dei diversi casi possibili

Due permanenze: il prodotto è positivo, perché c e a sono positivi e quindi lo è anche il loro rapporto; applicando la regola dei segni, deduciamo allora che x1 e x2 devono essere concordi; la somma è negativa, perché b e a sono positivi e quindi \( -\dfrac{b}{a}\) è negativo; \(x_1 e x_2\), per essere concordi, devono essere allora entrambe soluzioni negative.

Due variazioni: il prodotto è positivo, quindi x1 e x2 sono concordi ed, essendo la somma positiva, entrambe le soluzioni devono essere positive.

Una variazione e una permanenza: il prodotto è negativo, quindi le soluzioni sono una positiva e una negativa; poiché la somma è positiva, la soluzione positiva deve avere valore assoluto maggiore di quella negativa.

Una permanenza e una variazione: come nel caso precedente, le soluzioni sono una positiva e una negativa, ma la somma è negativa, quindi la soluzione negativa ha valore assoluto maggiore di quella positiva.

Regola di Cartesio: In un'equazione \( ax^2+bx+c=0\), con \(\Delta \geq 0\):

• a ogni variazione dei segni dei coefficienti corrisponde una soluzione positiva
• a ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa

• ha valore assoluto maggiore se la variazione precede la permanenza
• ha valore assoluto minore se la permanenza precede la variazione