• Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Equazioni di secondo grado

Regola di Cartesio

In questa lezione ci occuperemo della Regola di Cartesio che ci consente di determinare il segno delle radici di un'equazione di secondo grado.

Lezione

Regola di Cartesio

È possibile conoscere il segno delle radici reali di un’equazione completa di secondo grado senza risolverla. Per farlo, introduciamo i concetti di variazione e di permanenza relativi al segno dei coefficienti dell’equazione. Dato un polinomio ordinato secondo una variabile:

  • si ha una permanenza quando i coefficienti di un termine e del suo successivo sono concordi
  • si ha una variazione quando sono discordi

Prendiamo in considerazione un polinomio: \( x^2+2x-5\), presenta una permanenza per i primi due termini e una variazione per secondo e terzo termine. Sapendo che \( s=-\dfrac{b}{a}\) e che \(p=\dfrac{c}{a}\), ricaviamo i segni delle soluzioni \( x_1 e x_2\).

Esaminiamo ciascuno dei diversi casi possibili

Due permanenze: il prodotto è positivo, perché c e a sono positivi e quindi lo è anche il loro rapporto; applicando la regola dei segni, deduciamo allora che x1 e x2 devono essere concordi; la somma è negativa, perché b e a sono positivi e quindi \( -\dfrac{b}{a}\) è negativo; \(x_1 e x_2\), per essere concordi, devono essere allora entrambe soluzioni negative.

Due variazioni: il prodotto è positivo, quindi x1 e x2 sono concordi ed, essendo la somma positiva, entrambe le soluzioni devono essere positive.

Una variazione e una permanenza: il prodotto è negativo, quindi le soluzioni sono una positiva e una negativa; poiché la somma è positiva, la soluzione positiva deve avere valore assoluto maggiore di quella negativa.

Una permanenza e una variazione: come nel caso precedente, le soluzioni sono una positiva e una negativa, ma la somma è negativa, quindi la soluzione negativa ha valore assoluto maggiore di quella positiva.

Regola di Cartesio: In un'equazione \( ax^2+bx+c=0\), con \(\Delta \geq 0\):

  • a ogni variazione dei segni dei coefficienti corrisponde una soluzione positiva
  • a ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa
Se le soluzioni sono discordi, quella positiva:
  • ha valore assoluto maggiore se la variazione precede la permanenza
  • ha valore assoluto minore se la permanenza precede la variazione

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