Retta e sua equazione
Equazioni di una retta
Dati nello spazio un punto \( P_0(x_0;y_0;z_0)\) e un vettore \(\vec{v}(l;m;n)\) non nullo, è univocamente determinata la retta r passante per \( P_0\) e parallela a \( \vec{v}\), che viene detto vettore direzione della retta. Un punto P(x;y;z) appartiene a tale retta se e solo se il vettore \( \vec{P_0P}\) è parallelo a \(\vec{v}\), cioè se e solo se si ha:
\( \begin{cases} x=x_0+kl \\[2ex] y=y_0+km \\[3ex] z=z_0+kn \end{cases}\)
Queste sono le equazioni parametriche della retta passante per \( P_0\) e parallela a \( \vec{v}\). I numeri l,m e n costituiscono una terna ordinata di coefficienti direttivi, poichè determinano la direzione della retta.
Le equazioni parametriche sono valide anche se uno dei coefficienti direttivi è nullo. In particolare:
- se l=0, la retta è parallela al piano Oyz
- se m=0, la retta è parallela al piano Oxz
- se n=0, la retta è parallela al piano Oxy
- se l=m=0, la retta è parallela all'asse z
- se l=n=0, la retta è parallela all'asse y
- se m=n=0, la retta è parallela all'asse x
Definiamo ora l'equazione cartesiana della retta, valida solo se l,m,n sono diversi da 0:
\( \dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}\)
Dati due punti \( A(x_1;y_1;z_1)\) e \( B(x_2;y_2;z_2)\) si ricava l'equazione della retta in forma cartesiana:
\( \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}\).
Retta come intersezione di due piani
Se due piani sono incidenti cioè non paralleli e non coincidenti. Una retta può essere individuata come intersezione di due piani. Ciò può esser calcolato risolvendo un sistema composto dalle equazioni dei due piani non paralleli:
\( \begin{cases} ax+by+cz+d=0 \\[2ex] a'x+b'y+c'z+d'=0 \\[3ex] z=z_0+kn \end{cases}\)
Il sistema: \( \begin{cases} ax+by+cz+d=0 \\[2ex] a'x+b'y+c'z+d'=0 \\[3ex] z=z_0+kn \end{cases}\)
che individua una retta non è unico, perchè sono infiniti i piani che hanno per intersezione la retta. Dunque ogni sistema equivalente rappresenta la stessa retta.
Posizione reciproca di due rette
Date due rette con vettori direzione \( \vec{v}(l;m;n)\) e \( \vec{w}(l';m';n')\) non nulli, si dice che due rette sono parallele se sono paralleli i loro vettori direzione: \( \vec{v}=k\vec{w}\). Se \( l',m',n'\neq 0\), possiamo scrivere:
\( \dfrac{l}{l'}=\dfrac{m}{m'}=\dfrac{n}{n'}\)
Se due rette con vettori direzione paralleli hanno un punto in comune, allora hanno in comune tutti i loro punti e sono coincidenti.
Due rette sono perpendicolari se e solo se sono perpendicolari i loro vettori direzione: \( \vec{v}\cdot \vec{w}=0 -> ll'+mm'+nn'=0\)
Due rette sono sghembe quando non hanno punti in comune, sono incidenti quando hanno un punto in comune.