Rette e parabole
Una parabola e una retta possono essere secanti in due punti, essere tangenti in un punto, non intersecarsi in alcun punto oppure, se la retta è parallela all’asse della parabola, intersecarsi in un solo punto. Supponiamo che la retta non sia parallela all’asse y e che, dunque, la sua equazione possa essere scritta nella forma esplicita y = mx + q.
Mettiamo a sistema l'equazione della parabola e l'equazione della retta per determinare se vi sono delle intersezioni. Sostituiamo il valore ricavato per la y nell'equazione della retta nella prima equazione e ricaviamo il discriminante.
Il numero di soluzioni dipende dal discriminante, quindi:
- se \( \Delta > 0\), la retta è secante la parabola in due punti
- se \( \Delta = 0 \), la retta è tangente alla parabola in un punto
- se \( \Delta < 0\), la retta è esterna alla parabola
Rette tangenti a una parabola
Le rette passanti per un punto P e tangenti a una parabola possono essere due, una o nessuna, a seconda della posizione di P rispetto alla parabola. Se per un punto P si possono tracciare due rette tangenti, si dice che P è esterno alla parabola; se la retta è una sola, P è sulla parabola; se da P non è possibile tracciare rette tangenti, allora P si dice interno alla parabola.
Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti procediamo come di seguito:
- Scriviamo l'equazione del fascio di rette passanti per \( P(x_0;y_0)\): \( y-y_0=m(x-x_0)\)
- Scriviamo il sistema delle equazioni del fascio di rette e della parabola
- Poniamo la condizione di tangenza, ossia poniamo uguale a 0 il discriminante dell'equazione risolvente, cioè \( \Delta =0\)
- Risolviamo rispetto a m l'equazione ottenuta e sostituiamo nell'equazione del fascio gli eventuali valori trovati
Formula di sdoppiamento
Data l'equazione della parabola \( y=ax^2+bx+c\) per trovare la retta tangente nel punto \( P(x_0;y_0)\) possiamo anche utilizzare le formule di sdoppiamento: \( \dfrac{y+y_0}{2}=ax_0x+b\dfrac{x+x_0}{2}+c\)
Effettuiamo le opportune sostituzioni nell'equazione della parabola:\( y=\dfrac{y+y_0}{2}\)>; \( x^2=x_0x\); \( x=\dfrac{x+x_0}{2}\)
Area del segmento parabolico
Se una retta è secante una parabola nei punti A e B, il segmento AB e l’arco di parabola AB delimitano una parte di piano detta segmento parabolico. L'area del segmento parabolico è pari ai \( \dfrac{2}{3}\) dell'area del rettangolo generato dalle proiezioni dei punti di intersezione della retta con la parabola e dai punti stessi.