Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    L'iperbole

Rette ed iperbole

In questa lezione ci occuperemo dell'intersezione tra rette ed iperbole e vedremo come calcolare l'equazione della retta tangente ad un'iperbole.

Lezione

Iperboli e rette

Un'iperbole e una retta possono essere secanti in due punti, tangenti in uno oppure non intersecarsi in alcun punto oppure se la retta è parallela ad un asintoto intersecarsi in un punto.

Per stabilire la posizione di una retta rispetto ad un'iperbole occore mettere a sistema l'equazione dell'iperbole \( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) con la retta di equazione \( a'x+b'y+c'=0\). Se l'equazione risolvente è di secondo grado, studiamo il segno del \( \Delta\):

  • Se \(\Delta > 0\), il sistema ha due soluzioni reali e la retta è secante l'iperbole in due punti
  • Se \(\Delta = 0\), il sistema ha due soluzioni reali e coincidenti e la retta è tangente all'iperbole in un punto
  • Se \(\Delta < 0\), il sistema non ha soluzioni reali e la retta è esterna all'iperbole
Se l'equazione risolvente è di primo grado, la retta è secante l'iperbole in un solo punto.

Tangenti ad un'iperbole

Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti condotte da un punto \(P(x_0;y_0)\) all'iperbole di equazione \( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\), scriviamo il sistema formato dalle equazioni dell'iperbole e dal fascio di rette passante per P: \( y-y_0=m(x-x_0)\). Poniamo \(\Delta =0\), dove \(\Delta\) è il discriminante dell'equazione risolvente il sistema tra l'equazione della retta generica passante per P e l'equazione dell'iperbole. Otteniamo due rette se il punto è compreso tra i due rami dell'iperbole. Una retta se il punto si trova su un asintoto. Nessun punto se si trova all'interno di uno dei due rami dell'iperbole.

Formula di sdoppiamento

Per determinare l'equazione della retta tangente all'iperbole in un suo punto \(P(x_0;y_0)\), si può utilizzare la formula di sdoppiamento:

\( \dfrac{x x_0}{a^2}-\dfrac{y y_0}{b^2}=1\) con fuochi sull'asse x

\( \dfrac{x x_0}{a^2}-\dfrac{y y_0}{b^2}=-1\) con fuochi sull'asse y

Sostituendo al termine \(x^2\) il termine \( x x_0\) e al termine \(y^2\) il termine \( y y_0\).

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
1211 Posizione reciproca tra iperbole e retta \( 3x^2-4y^2=12\); x+y-1=0 3 Vai
1212 Posizione reciproca tra iperbole e retta \( 4x^2-9y^2=36\); 4x-3y-12=0 4 Vai
1213 Posizione reciproca tra iperbole e retta \( x^2-4y^2=20\); 3x+2y=0 3 Vai
1214 Posizione reciproca tra iperbole e retta Determina su quali rette passanti per l'origine l'iperbole di equazione \( \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{36}=1\) stacca una corda di misura 3 4 Vai
1215 Posizione reciproca tra iperbole e retta Determina l'area del triangolo ABF, dove A e B sono i punti di intersezione della retta di equazione x=4, con l'iperbole di equazione \( \dfrac{x^2}{20}-\dfrac{y^2}{5}=-1\), e F è un fuoco dell'iperbole 4 Vai
1216 Risoluzione grafica sistema \( \begin{cases} y=2\sqrt{x^2-1} \\ y=\dfrac{1}{4}x \end{cases}\) 4 Vai
1217 Risoluzione grafica equazioni irrazionali \( \sqrt{4x^2+5}=3\) \( \pm 1\) 4 Vai
1218 Risoluzione grafica disequazioni irrazionali \( \sqrt{x^2-9}\geq x+3\) 4 Vai
1219 Tangenti ad iperbole Conduci la tangente all'iperbole di equazione \( x^2-4y^2=20\) dal suo punto di ordinata 2 del secondo quadrante 7 Vai
1220 Tangenti ad iperbole Trova le equazioni delle rette tangenti all'iperbole di equazione \( x^2-y^2=9\) nei suoi punti di intersezione con la retta x-5=0 4 Vai
1221 Tangenti ad iperbole Date l'iperbole di equazione \( x^2-\dfrac{y^2}{3}=1\) e la retta di equazione y=2x+q, determina per quali valori di q la retta:
a. interseca l'iperbole in due punti distinti;
b. è tangente all'iperbole;
c. è esterna all'iperbole
8 Vai
1222 Tangenti ad iperbole formula sdoppiamento Scrivi l'equazione della tangente all'iperbole di equazione \( 8x^2-9y^2=36\) nel suo punto (-3;-2) 4 Vai
1223 Tangenti ad iperbole formula sdoppiamento Trova l'equazione della retta tangente all'iperbole di equazione \( 9x^2-2y^2-18=0\) nel suo punto di ordinata 3 e ascissa positiva. 4 Vai
1224 Tangenti ad iperbole formula sdoppiamento Determina l'equazione della tangente all'iperbole di equazione \( 9x^2-y^2=-8\) nel suo punto di ascissa \( \dfrac{1}{3}\) che si trova nel quarto quadrante 4 Vai

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