Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    La circonferenza

Rette tangenti ad una circonferenza

In questa lezione vedremo come calcolare l'equazione di una retta tangente ad una circonferenza.

Lezione

Rette tangenti ad una circonferenza

Dato un punto \(P(x_0;y_0)\) e una circonferenza di equazione \( x^2+y^2+ax+by+c=0\) si possono presentare tre casi:

  • P è esterno alla circonferenza
  • P appartiene alla circonferenza
  • P è interno alla circonferenza

Nel primo caso le rette tangenti sono due, nel secondo una, nel terzo nessuna. Nei primi due casi possiamo applicare due metodi che andiamo ad introdurre di seguito.

Primo metodo: \( \Delta =0\)

Di seguito i passi da seguire:

Scriviamo il sistema composto dall'equazione della circonferenza e dall'equazione del fascio di rette passanti per P avente equazione \( y-y_0=m(x-x_0)\). Questo sistema fornisce i punti di intersezione della retta passante per P con la circonferenza al variare di m

Ricaviamo y dall'equazione del fascio e sostituiamo nella seconda, otteniamo un'equazione di secondo grado in funzione del parametro m.

Poniamo la condizione di tangenza che abbiamo detto essere \( \Delta =0\), poichè se la retta per P è tangente alla circonferenza, è necessario che l'equazione risolvente abbia due soluzioni coincidenti

Risolviamo rispetto a m l'equazione di secondo grado ottenuta ponendo \( \Delta =0\).

Se il punto P è esterno alla circonferenza otteniamo due soluzioni distinti, se appartiene due soluzioni coincidenti.

Secondo metodo: distanza retta-centro uguale al raggio

Di seguito i passi da seguire:

Determiniamo le coordinate del centro e il raggio r della circonferenza

Scriviamo l'equazione del fascio di rette passanti per P avente equazione \( y-y_0=m(x-x_0)\) in forma implicita \( mx - y +y_0-mx_0=0\)

Applichiamo la formula della distanza di un punto da una retta per esprimere la distanza del centro C da una generica retta del fascio

Poniamo tale distanza pari al raggio e risolviamo l'equazione in m

Sostituiamo il valore o i valori di m trovati nell'equazione del fascio di rette

Terzo metodo: retta tangente in P come perpendicolare al raggio PC

Questo metodo può essere utilizzato solo se P appartiene alla circonferenza

Di seguito i passi da seguire:

Determiniamo le coordinate del centro C della circonferenza

Troviamo il coefficiente angolare m della retta r passante per P e C

Calcoliamo il coefficiente angolare \( m'=-\dfrac{1}{m}\) della retta perpendicolare a r

La retta tangente t in P è perpendicolare al diametro passante per P, quindi ha equazione \( y-y_0=m'(x-x_0)\)

Quarto metodo: formule di sdoppiamento

Anche questo metodo si può usare solo se P appartiene alla circonferenza

Di seguito i passi da seguire:

Scriviamo l'equazione della circonferenza in forma \( x^2+y^2+ax+by+c=0\)

Se P ha coordinate \( (x_0;y_0)\), eseguiamo le sostituzioni: \( x^2->xx_0\); \(y^2->yy_0\); \( x->\dfrac{x+x_0}{2}\); \(y->\dfrac{y+y_0}{2}\).

Otteniamo l'equazione della retta tangente in p:\( xx_0+yy_0+a\dfrac{x+x_0}{2}+b\dfrac{y+y_0}{2}+c=0\)

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
911 Rette tangenti alla circonferenza da un punto esterno Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione \( x^2+y^2-2x-10y+13=0\) condotte dall'origine \( 2x-3y=0; 3x+2y=0\) 4 Vai
912 Rette tangenti alla circonferenza da un punto esterno Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione \( x^2+y^2-6x-4y+9=0\) condotte dal punto P(9;0) \(y=0;3x+4y-27=0\) 4 Vai
913 Rette tangenti alla circonferenza da un punto esterno Trova le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di centro (0;2) e di raggio 1 condotte dal punto P(2;3) y=3; 3y-4x-1=0 4 Vai
914 Rette tangenti alla circonferenza da punto appartenente \( x^2+y^2+5x=0\), P(-1;-2) 3x-4y-5=0 4 Vai
915 Retta tangente alla circonferenza da punto di tangenza Determina l'equazione della tangente alla circonferenza di equazione \( x^2+y^2-2x-6y-10=0\) nel suo punto P(5;5) y=-2x+15 5 Vai
916 Retta tangente alla circonferenza da punto di tangenza Scrivi le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione \( x^2+y^2+8x-6y=0\) nei suoi punti di intersezione con l'asse y 4x-3y=0; 4x+3y-18=0 5 Vai
957 Problema di riepilogo rette tangenti a circonferenza e triangoli circoscrivibili Dato il triangolo di vertici A(-4;3), B(-6;-3) e C(0;-5) determina:
a. l'equazione della circonferenza circoscritta;
b. le equazioni delle tangenti alla circonferenza perpendicolari alla retta di equazione x-2y-9=0
5 Vai
958 Problema di riepilogo rette tangenti a circonferenza e triangoli circoscrivibili Scrivi l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo di vertici A(9;-1), B(1;5) e C(10;2). Tracciate le tangenti alla circonferenza nei punti A, B, C e detti D ed E i loro punti di intersezione, trova il perimetro e l'area del quadrilatero non intrecciato ABDE formato dalle tangenti e dal segmento AB 9 Vai
960 Problema di riepilogo rette tangenti a circonferenza e quadrilateri circoscrivibili Sono dati i punti P(0;3), B(-2;1) e la retta r di equazione 11x -3y+25=0.
a. Dopo aver verificato che B appartiene a r, trova l'equazione della circonferenza \( \gamma\) passante per P e tangente in B alla retta r
b. Trova la retta s tangente a \( \gamma\) nel suo punto D di ascissa 3 e ordinata positiva
c. Detti C il centro di \(\gamma\) e A il punto di intersezione di r e s, verifica che il quadrilatero ABCD è circoscrivibile e determina l'equazione della circonferenza circoscritta
d. Calcola l'area di ABCD
\(a) 2x^2+2y^2-3x-y-15=0; b) 9x+7y-41=0; c) 4x^2+4y^2-x-27y+5=0; d) \dfrac{65}{4}\) 8 Vai

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