Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Numeri irrazionali

Semplificazione e confronto radicali

In questa lezione ci occuperemo della semplificazione dei radicali, delle condizioni di esistenza degli stessi e del confronto tra radicali.

Lezione

Semplificazione e confronto di radicali

Dati due numeri reali a e b, non negativi, e un numero naturale n, diverso da 0, se a e b sono uguali, sono uguali anche le loro potenze n-esime e viceversa.

La proprietà invariantiva

Considerato un radicale il cui radicando è positivo o nullo, se moltiplichiamo l’indice del radicale e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0, otteniamo un radicale equivalente. Esempio: \( \sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot p]{m\cdot p}\) con \( a\geq 0\) e m,n,p interi diversi da 0

Se vogliamo applicare la proprietà invariantiva per trasformare un radicale con indice dispari e radicando negativo, possiamo portare il segno fuori dalla radice e scrivere \( \sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\), ottenendo così un radicale con radicando positivo.

Semplificazione di radicali

Dato un radicale, si può ottenere un radicale equivalente dividendo l’indice della radice e l’esponente del radicando per un divisore comune. Esempio: \(\sqrt[n\cdot p]{m\cdot p}=\sqrt[n]{m}\)

Non è possibile semplificare in questo modo: \( \sqrt[6]{2^3+5^3}=\sqrt{2+5}\)

Un radicale si definisce irriducibile cioè non semplificabile quando il suo indice e l'esponente del radicando, scomposto in fattori primi, sono primi tra loro

Per semplificare un radicale e renderlo irriducibile occorre:

  • Verificare che il radicando sia scomposto in fattori primi
  • Cercare il MCD tra indice ed esponente dei fattori del radicando
  • Dividere l'indice e l'esponente per il loro MCD

Radicali e valore assoluto

Partiamo da un esempio: \( \sqrt[4]{-5^2} = \sqrt[2]{-5}\). Questo procedimento è errato. Infatti \((-5)^2=5^2\), quindi si ha: \( \sqrt[4]{(-5)^2} = \sqrt[4]{(+5)^2}=\sqrt[4]{|-5|}=\sqrt{|-5|}=\sqrt{5}\)

In generale se il radicando è minore di 0 e \( m\cdot p è pari\) si ha: \( \sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}=\sqrt[n]{|a|^m}\)

I radicali letterali

Se i radicali sono espressioni letterali, nella semplificazione dobbiamo considerare che il radicale semplificato, rispetto al radicale iniziale, abbia:

  • le stesse condizioni di esistenza
  • lo stesso segno

Quando è necessario, per rendere vere queste due condizioni, nel semplificare dobbiamo utilizzare il valore assoluto delle espressioni del radicando.

Riduzione di radicali allo stesso indice

Applicando la proprietà invariantiva, si possono trasformare due o più radicali in altri che hanno lo stesso indice. In particolare, si può ridurli a radicali che abbiano il minimo comune indice.

I passaggi necessari sono due:

  • cercare il mcm fra gli indici
  • trasformare ogni radicale in uno equivalente, che ha per indice il mcm trovato

Il confronto di radicali

Tra due radicali che hanno lo stesso indice è maggiore quello che ha il radicando maggiore. Per confrontare radicali con indici diversi bisogna ridurli prima a radicali equivalenti con lo stesso indice.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
249 Individua le coppie di radicali equivalenti \( \sqrt{8}, \sqrt[12]{2^18};\)

\( \sqrt[3]{25}, \sqrt[9]{5^6};\)

\( \sqrt[3]{81}, \sqrt[12]{3^8};\)
3 Vai
250 Individua le coppie di radicali equivalenti \( \sqrt{x+1}, \sqrt[4]{x^2+2x+1};\)

\( \sqrt{1-x}, \sqrt[6]{1-x^3};\)
3 Vai
251 Individua le coppie di radicali equivalenti \( \sqrt[3]{2ab}, \sqrt[6]{4a^2b^2};\)

\( \sqrt[5]{32a^5b}, \sqrt[10]{64a^{10}b^2};\)

\( \sqrt[3]{2ac}, \sqrt[6]{6a^3c^3};\)
4 Vai
252 Semplificazione di radicali \( \sqrt[6]{27a^3b^6}; \sqrt[10]{32a^5b^5}\) 3 Vai
253 Semplificazione di radicali \( \sqrt{a^4b^6}; \sqrt{a^2b^4}; \sqrt[3]{a^6b^9}\) 3 Vai
254 Semplificazione di radicali \( \sqrt[9]{a^3+8+6a^2+12a}\) 3 Vai
255 Riduzione di radicali allo stesso indice \( \sqrt[12]{3x^2y^3}; \sqrt[4]{2xy^2}; \sqrt[3]{3xy}\) 3 Vai
256 Riduzione di radicali allo stesso indice \( \sqrt[6]{(a-b)^2}; \sqrt{a+b}; \sqrt[3]{a+b}\) 3 Vai
257 Riduzione di radicali allo stesso indice \( \sqrt[15]{25a^3b^4}; \sqrt[3]{3ab^2}; \sqrt[5]{5a^2b}\) 3 Vai
258 Confronta i radicali \( \sqrt{2}; \sqrt[3]{5}; \sqrt[6]{12}\) 3 Vai
259 Confronta i radicali \( \sqrt{90}; \sqrt[5]{80}; \sqrt[10]{120}\) 3 Vai
260 Confronta i radicali \( \sqrt{\dfrac{2}{3}}; \sqrt[3]{\dfrac{3}{4}}; \sqrt[6]{4}\) 3 Vai

Richiedi esercizio

Hai difficoltá con un esercizio riguardante questo argomento? Non perdere tempo e denaro in lunghe lezioni private. Acquista subito il pacchetto GIORNO ed in poche ore riceverai la video spiegazione del tuo esercizio. In piú potrai usufruire per 24 ore di tutte le lezioni e di tutti gli esercizi svolti presenti sul nostro sito.

Se sei cliente Tim, Vodafone o WindTre potrai pagare comodamente con il tuo smartphone. Inserendo il tuo numero telefonico riceverai un sms con un codice ed inserendo quel codice acquisterai il nostro servizio.

Acquista subito

Offerte

Puoi avere accesso a tutti i corsi, tutte le lezioni e gli esercizi, ai webinar ed avere due esercizi svolti al mese per un anno a soli 14,99€. Acquista subito questo pacchetto.

Puoi scegliere un periodo temporale inferiore pari ad un solo mese ed avere accesso a tutti i corsi, tutte le lezioni e gli esercizi, ai webinar ed avere due esercizi svolti a richiesta a soli 7,99€. Acquista subito

Puoi acquistare solo questo corso ed avrai accesso illimitato per un anno a soli 6,99€. Acquista subito

Webinar

Prova subito i nostri corsi gratuitamente

Il tuo carrello

Nome pacchetto Durata Totale
Prova Gratuita 2 giorni € 0.00
Totale € 0.00