Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Sistemi di secondo grado

Sistemi di grado superiore al secondo

In questa lezione ci occuperemo dei sistemi di grado superiore al secondo e di alcuni metodi risolutivi.

Lezione

I sistemi di grado superiore al secondo

Per risolvere un sistema di grado superiore al secondo esistono diversi metodi.

Partiamo col metodo algebrico. Esso consiste nello scomporre una delle due equazioni in un prodotto di polinomi e con la legge dell'annullamento del prodotto si generano due sistemi. Le soluzioni di questi sistemi sono le soluzioni del sistema di partenza.

Il secondo metodo è quello grafico. Si rappresentano le due equazioni e si cerca il valore dei punti di intersezione che rappresentano le soluzioni del sistema di partenza.

I sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

Anche i sistemi simmetrici si possono risolvere utilizzando i metodi già visti. Analizziamo però alcuni esempi:

\( \begin{cases} x^3+y^3=a \\[2ex] x+y=s \end{cases}\)

\( \begin{cases} x^2+y^2=r^2 \\[2ex] xy=p \end{cases}\)

Osserviamo che il sistema di quarto grado comprende l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine degli assi e l’equazione di un’iperbole equilatera.

I sistemi omogenei

Un polinomio omogeneo è formato soltanto da monomi dello stesso grado.

Un’equazione è omogenea se è costituita da un polinomio omogeneo uguagliato a 0. Esempio: \( 4x^2-3xy+y^2=0\)

I sistemi omogenei sono sistemi in cui tutte le equazioni sono omogenee.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
467 Risoluzione di un sistema simmetrico di terzo grado \( \begin{cases} x^3+y^3=\dfrac{9}{125} \\[2ex] x+y=\dfrac{3}{5} \end{cases}\) \( \biggl(\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}\biggr);\biggl(\dfrac{1}{5};\dfrac{2}{5}\biggr)\) 4 Vai
468 Risoluzione di un sistema simmetrico di terzo grado \( \begin{cases} x^3+y^3=19 \\[2ex] x+y=1 \end{cases}\) (3;-2) (-2;3) 4 Vai
469 Risoluzione di un sistema simmetrico di terzo grado \( \begin{cases} x^3+y^3=20 \\[2ex] x+y=2 \end{cases}\) \( (1+\sqrt{3};1-\sqrt{3}), (1-\sqrt{3};1+\sqrt{3})\) 4 Vai
470 Risoluzione di un sistema simmetrico di quarto grado \( \begin{cases} xy=-36 \\[2ex] x^2+y^2=97 \end{cases}\) (9;-4), (-4;9), (-9;4), (4;-9) 4 Vai
471 Risoluzione di un sistema simmetrico di quarto grado \( \begin{cases} x^2+y^2=17 \\[2ex] xy=4 \end{cases}\) (-1;-4), (-4;-1), (1;4), (4;1) 4 Vai
472 Risoluzione di un sistema simmetrico di quarto grado \( \begin{cases} x^2+y^2=34 \\[2ex] xy=-15 \end{cases}\) (5;-3), (-3;5), (-5;3), (3;-5) 4 Vai
473 Risoluzione di un sistema di quarto grado riconducibile a sistema simmetrico \( \begin{cases} 2x+2y-2xy-1=0 \\[2ex] 2x+2y+4xy=7 \end{cases}\) 4 Vai
474 Risoluzione di un sistema di quarto grado riconducibile a sistema simmetrico \( \begin{cases} 6x+6y+15xy-27=0 \\[2ex] 39x+39y-197xy+119=0 \end{cases}\) (1;1) 4 Vai
475 Risoluzione di un sistema di quarto grado riconducibile a sistema simmetrico \( \begin{cases} x+y-xy=1 \\[2ex] 6x+6y-5xy=8 \end{cases}\) (2;1), (1;2) 4 Vai
476 Risoluzione di sistemi omogenei di quarto grado \( \begin{cases} 2x^2-3xy+y^2=0 \\[2ex] -8x^2-2xy+3y^2=0 \end{cases}\) \( (\alpha;2\alpha)\) 4 Vai
477 Risoluzione di sistemi omogenei di quarto grado \( \begin{cases} y^2-2xy-3x^2=0 \\[2ex] x^2+3xy+2y^2=0 \end{cases}\) \( (\alpha;-\alpha)\) 4 Vai
478 Risoluzione di sistemi omogenei di quarto grado \( \begin{cases} 2y^2-20x^2+3xy=0 \\[2ex] -8x^2-2xy+y^2=0 \end{cases}\) \( (\alpha;-4\alpha)\) 4 Vai
479 Sistemi di grado superiore al secondo di riepilogo \( \begin{cases} x^2-9-xy=3y \\[2ex] \dfrac{y+9}{y}=\dfrac{x^2}{y}-1 \end{cases}\) (-1;-4) 4 Vai
480 Sistemi di grado superiore al secondo di riepilogo \( \begin{cases} x^2+y^2=a^4+\dfrac{a^2}{9} \\[2ex] x+y=\dfrac{a-3a^2}{3} \end{cases}\) \( \biggl(\dfrac{a}{3};-a^2\biggr), \bigg(-a^2;\dfrac{a}{3}\biggr)\) 5 Vai
481 Sistemi di grado superiore al secondo di riepilogo \( \begin{cases} 4+x(x+1)+y(y-2)=(x+y)^2-y(3+2x) \\[2ex] xy=-77 \end{cases}\) (7;-11), (-11;7) 4 Vai
482 Problemi con i sistemi di grado superiore al secondo Individua due numeri, sapendo che la somma dei loro quadrati è 29 e il loro prodotto è 10 (2;5), (-2;-5) 4 Vai
483 Problemi con i sistemi di grado superiore al secondo Il prodotto di due numeri aumentato di 10 è uguale a 26, mentre la somma dei loro quadrati è uguale a 68. Scrivi i due numeri (2;8), (-2;-8) 4 Vai
484 Problemi con i sistemi di grado superiore al secondo Trova due numeri, sapendo che la differenza tra i loro reciproci vale \( \dfrac{5}{36}\) e il loro prodotto è 36. (4;9), (-4;-9) 4 Vai
485 Problemi geometrici con i sistemi di grado superiore al secondo In un rettangolo di area \( 240b^2\) la diagonale è 26b. Determina il perimetro del rettangolo 68b 4 Vai
486 Problemi geometrici con i sistemi di grado superiore al secondo In un rettangolo la diagonale misura 15a e l'area \( 108a^2\). Calcola il perimetro del rettangolo 42a 4 Vai
487 Problemi geometrici con i sistemi di grado superiore al secondo Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo in cui l'ipotenusa è 15cm e l'area \(54cm^2\) 36cm 4 Vai

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