Lezione

  • Insegnante
    Luciano Pizzolitto
  • Corso
    Sistemi di secondo grado

Sistemi di secondo grado

In questa lezione ci occuperemo della soluzione di sistemi di secondo grado. Definiremo, inoltre, le tipologie di sistema di secondo grado ammissibili.

Lezione

Sistemi di secondo grado

Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono, perciò un sistema di secondo grado può contenere una sola equazione di secondo grado e tutte le altre devono essere di primo grado.

Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni che soddisfano tutte le equazioni che lo compongono.

Un sistema di secondo grado può essere:

  • determinato se le soluzioni sono in numero finito, al massimo due
  • indeterminato se le soluzioni sono infinite
  • impossibile se non ha soluzioni

Le soluzioni di un sistema di due equazioni in due incognite sono coppie ordinate di numeri reali. Per risolvere questi sistemi si utilizza, in generale, il metodo di sostituzione: si ricava un’incognita dall’equazione di primo grado e si sostituisce in quella di secondo grado. Così facendo otteniamo un’equazione in una sola incognita, le cui radici consentono di ricavare le soluzioni del sistema.

Un sistema di secondo grado di due equazioni in due incognite determinato può in generale avere anche una sola soluzione, che è:

  • doppia se l'equazione risolvente che si ottiene dalla sostituzione è di secondo grado, ma con due soluzioni coincidenti
  • semplice se l'equazione risolvente che si ottiene dalla sostituzione è di primo grado

Se non è determinato, un sistema di secondo grado di due equazioni in due incognite può essere impossibile o indeterminato.

Sistemi di tre equazioni in tre incognite

Un sistema di secondo grado di tre equazioni in tre incognite può avere una sola equazione di secondo grado. Le altre devono essere di primo grado. Le soluzioni sono terne ordinate. Per determinarle si può utilizzare il metodo di sostituzione: dalle equazioni di primo grado si ricavano due incognite in funzione della terza, per poi sostituire le loro espressioni nell’equazione di secondo grado.

Sistemi simmetrici

Un sistema di due equazioni nelle incognite x e y si dice simmetrico quando, scambiando fra loro le incognite, il sistema non cambia.

In un sistema simmetrico, poiché la x si può scambiare con la y, se la coppia (a; b) è soluzione del sistema, anche la coppia (b; a) è soluzione dello stesso sistema. Le due soluzioni si dicono simmetriche. Fra i sistemi simmetrici di secondo grado esaminiamo il seguente tipo:

\( \begin{cases} xy=p \\[2ex] x+y=s \end{cases}\)

Potremmo risolverlo per sostituzione, come ogni sistema di secondo grado. Tuttavia, si può procedere più rapidamente utilizzando una particolare equazione di secondo grado. Abbiamo già visto che, dati la somma s di due numeri e il loro prodotto p, l’equazione che ha per radici i due numeri è: \( x^2-sx+p=0\).

Per risolvere il sistema:

\( \begin{cases} xy=p \\[2ex] x+y=s \end{cases}\)

introduciamo la variabile ausiliaria t e scriviamo l'equazione nell'incognita t: \( t^2-st+p=0\). Le soluzioni di questa equazione sono le soluzioni del sistema.

Esercizi

#TipologiaTracciaRisultatoDifficoltáDettaglio
449 Sistemi di secondo grado in tre incognite \( \begin{cases} 2x+y=3 \\[2ex] 2x-y=5 \\[3ex]2x^2+y^2+z^2=25\end{cases}\) (2;-1;4); (2;-1;-4) 3 Vai
450 Sistemi di secondo grado in tre incognite \( \begin{cases} 2x+z-3=0 \\[2ex] x+y=1 \\[3ex]x^2+y^2+2xy=4\end{cases}\) Impossibile 4 Vai
451 Sistemi di secondo grado in tre incognite \( \begin{cases} x+y=1 \\[2ex] x-z+2y=2 \\[3ex]y^2-z^2=0\end{cases}\) \( \biggl( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\biggr)\) 3 Vai
452 Sistemi di secondo grado simmetrici \( \begin{cases} xy=-2 \\[2ex] x+y=1 \end{cases}\) (2;-1); (-1;2) 3 Vai
453 Sistemi di secondo grado simmetrici \( \begin{cases} xy=48 \\[2ex] x+y=-14 \end{cases}\) (-6;-8); (-8;-6) 3 Vai
454 Sistemi di secondo grado simmetrici \( \begin{cases} xy=\dfrac{3}{4} \\[2ex] x+y=2 \end{cases}\) \( \biggl(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\biggr) - \biggl(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\biggr)\) 3 Vai
455 Sistemi di secondo grado letterali simmetrici \( \begin{cases} xy=-6a^2 \\[2ex] 2x+y-25a=x-20a \end{cases}\) (-a;6a);(6a;-a) 3 Vai
456 Sistemi di secondo grado letterali simmetrici \( \begin{cases} 7a+x=4a-y \\[2ex] 4a^2=-xy \end{cases}\) (a;-4a) (-4a;a) 3 Vai
457 Sistemi di secondo grado letterale simmetrici \( \begin{cases} 2x+2y-3a=1 \\[2ex] 2xy+1=a^2 \end{cases}\) \( \biggl(a+1;\dfrac{a-1}{2}\biggr); \biggl(\dfrac{a-1}{2};a+1\biggr)\) 3 Vai
458 Sistemi di secondo grado di riepilogo \( \begin{cases} (5x)^2+(5y)^2=148 \\[2ex] x+y=-2 \end{cases}\) \( \biggl(\dfrac{2}{5};-\dfrac{12}{5}\biggr);\biggl(-\dfrac{12}{5};\dfrac{2}{5}\biggr)\) 3 Vai
459 Sistemi di secondo grado di riepilogo \( \begin{cases} x^2+y^2-4x-4y+6=0 \\[2ex] (y-1)^2=y^2+3\biggl(x+\dfrac{1}{3}\biggr)-3y \end{cases}\) \( (1;3), \biggl(\dfrac{3}{5};\dfrac{9}{5}\biggr)\) 3 Vai
460 Sistemi di secondo grado di riepilogo \( \begin{cases} x^2+y^2=29 \\[2ex] x(x-2)+y=3(1-x)+x^2 \end{cases}\) (-2;5);(5;-2) 3 Vai
461 Problemi numerici risolvibili con i sistemi di secondo grado Determina due frazioni la cui somma è \( \dfrac{5}{6}\) e il cui prodotto è \(\dfrac{1}{6}\) \( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\) 3 Vai
462 Problemi numerici risolvibili con i sistemi di secondo grado Trova due numeri il cui rapporto è \( \dfrac{3}{2}\) e la cui differenza dei quadrati è 20 (6;4);(-6;-4) 3 Vai
463 Problemi numerici risolvibili con i sistemi di secondo grado Determina due frazioni il cui rapporto è 2 e la cui differenza dei quadrati è \(\dfrac{27}{16}\) \( \biggl(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{4}\biggr);\biggl(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{3}{4}\biggr)\) 3 Vai
464 Problemi geometrici risolvibili con i sistemi di secondo grado In un triangolo rettangolo l'area è \(96cm^2\) e la somma dei cateti è 28cm. Determina l'altezza relativa all'ipotenusa 9,6 cm 3 Vai
465 Problemi geometrici risolvibili con i sistemi di secondo grado In un triangolo rettangolo la differenza tra i due cateti è 5cm e l'area è \(150cm^2\). Determina il perimetro del triangolo 60cm 3 Vai
466 Problemi geometrici risolvibili con i sistemi di secondo grado La somma dei lati di due quadrati è uguale a 50cm. Il rettangolo formato dalle diagonali dei due quadrati ha l'area di \(1200cm^2\). Calcola l'area dei due quadrati \(400cm^2; 900cm^2\) 4 Vai

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