Sistemi di secondo grado

Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono, perciò un sistema di secondo grado può contenere una sola equazione di secondo grado e tutte le altre devono essere di primo grado.

Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni che soddisfano tutte le equazioni che lo compongono.

Un sistema di secondo grado può essere:

• determinato se le soluzioni sono in numero finito, al massimo due
• indeterminato se le soluzioni sono infinite
• impossibile se non ha soluzioni

Le soluzioni di un sistema di due equazioni in due incognite sono coppie ordinate di numeri reali. Per risolvere questi sistemi si utilizza, in generale, il metodo di sostituzione: si ricava un’incognita dall’equazione di primo grado e si sostituisce in quella di secondo grado. Così facendo otteniamo un’equazione in una sola incognita, le cui radici consentono di ricavare le soluzioni del sistema.

Un sistema di secondo grado di due equazioni in due incognite determinato può in generale avere anche una sola soluzione, che è:

• doppia se l'equazione risolvente che si ottiene dalla sostituzione è di secondo grado, ma con due soluzioni coincidenti
• semplice se l'equazione risolvente che si ottiene dalla sostituzione è di primo grado

Se non è determinato, un sistema di secondo grado di due equazioni in due incognite può essere impossibile o indeterminato.

Sistemi di tre equazioni in tre incognite

Un sistema di secondo grado di tre equazioni in tre incognite può avere una sola equazione di secondo grado. Le altre devono essere di primo grado. Le soluzioni sono terne ordinate. Per determinarle si può utilizzare il metodo di sostituzione: dalle equazioni di primo grado si ricavano due incognite in funzione della terza, per poi sostituire le loro espressioni nell’equazione di secondo grado.

Sistemi simmetrici

Un sistema di due equazioni nelle incognite x e y si dice simmetrico quando, scambiando fra loro le incognite, il sistema non cambia.

In un sistema simmetrico, poiché la x si può scambiare con la y, se la coppia (a; b) è soluzione del sistema, anche la coppia (b; a) è soluzione dello stesso sistema. Le due soluzioni si dicono simmetriche. Fra i sistemi simmetrici di secondo grado esaminiamo il seguente tipo:

\( \begin{cases} xy=p \\[2ex] x+y=s \end{cases}\)

Potremmo risolverlo per sostituzione, come ogni sistema di secondo grado. Tuttavia, si può procedere più rapidamente utilizzando una particolare equazione di secondo grado. Abbiamo già visto che, dati la somma s di due numeri e il loro prodotto p, l’equazione che ha per radici i due numeri è: \( x^2-sx+p=0\).

Per risolvere il sistema:

\( \begin{cases} xy=p \\[2ex] x+y=s \end{cases}\)

introduciamo la variabile ausiliaria t e scriviamo l'equazione nell'incognita t: \( t^2-st+p=0\). Le soluzioni di questa equazione sono le soluzioni del sistema.